1.輾轉相除法

用（a,b）表示a和b的最大公約數

有定理： 已知a,b,c為正整數，若a除以b餘c，則（a,b）=(b,c)。 （證明過程請參考其它資料）

例如：求gcd（319，377）：
∵ 377÷319=1（餘58）
∴gcd（377，319）=gcd（319，58）；
∵ 319÷58=5（餘29），
∴ gcd（319，58）=gcd（58，29）；
∵ 58÷29=2（餘0），
∴ gcd（58，29）= 29；
∴ gcd（319，377）=29.

演算法實現

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int gcd1(int a,int b)//遞迴版本
{
    if (a<b)  //確定被除數和除數
    {
        int temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    if (b==0)  //求出結果
    {
        return a;
    }
    else
    {
        <strong>return gcd1(b,a%b);   //遞迴呼叫</strong>
    }
}
int gcd2(int a,int b)//迴圈版本
{
    if (a<b)
    {
        int temp=a;
        a=b;
        b=temp;
    }
    while ( b!=0)
    {
        int c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int a,b;
    cout<<"請輸入兩個正數："<<endl;
    cin>>a>>b;
    cout<<a<<"與"<<b<<"的最大公約數是:"<<gcd2(a,b)<<endl;//cout<<a<<"與"<<b<<"的最大公約數是:"<<gcd1(a,b)<<endl;
 

輾轉相除法的時間複雜度為O(logN)。

存在的問題，當兩個整形數較大時，做a%b的取模運算效能會比較低，所以，還有一個演算法叫更相減損演算法，更相減損術來自與《九章算術》 第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法例1、用更相減損術求98與63的最大公約數。解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並

輾轉相減：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=77-7=0所以，98和63的最大公約數等於7。例2、用更相減損術求260和104的最大公約數。解：由於260和104均為偶數，首先用2約簡得到130和52，再用2約簡得到65和26。此時65是奇數而26不是奇數，故把65和26輾轉相減：65-26=3939-26=1326-13=13所以，260與104的最大公約數等於13乘以第一步中約掉的兩個2，即13*2*2=52。時間複雜度分析：更相減損術和輾轉相除法的主要區別在於前者所使用的運算是“減”，後者是“除”。從演算法思想上看，兩者並沒有本質上的區別，但是在計算過程中，如果遇到一個數很大，另一個數比較小的情況，可能要進行很多次減法才能達到一次除法的效果，從而使得演算法的時間複雜度退化為O(N)，其中N是原先的兩個數中較大的一個。相比之下，輾轉相除法的時間複雜度穩定於O(logN)。 演算法實現：

int gcd(int a, int b)
{
   while(a != b)
   {
      if(a > b)
      a -= b;
      else
      b -= a;
   }
   return a;
}

所以說，採用什麼演算法求兩個數的最大公約數要看這兩個數的值