題目大意：

給你一個數組 A ，問你有多少不大於 A 的陣列 B 使得 B 中所有元素的最大公因數不為1。（陣列 B 不大於陣列 A 就等價於，對於任意 A 陣列中的元素 a [ i ] 和 B 陣列中對應元素 b [ i ] ，均有：a [ i ] >= b [ i ]）

思路：

容斥思想：該問題就可以轉化成求有多少陣列 B 滿足：B 中的所有元素的最大公因數為 1。

莫比烏斯反演：
設：
f(x)表示所有元素最大公因數為x的數組個數；
F(x)表示所有元素最大公因數為x的倍數的數組個數；
那麼顯然：

分塊字首和技巧：
顯然可知：

那麼我們想辦法再繼續優化一下上式：

那麼現在我們設：sum[i]表示 A 陣列中，值在區間[0,i]的元素個數。
下面給出num(i,x)的計算公式：

如此可將時間複雜度降為：O(n(logn)2)

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100500
#define MOD 1000000007
#define mod(x) ((x)%MOD+MOD)%MOD
long long int a[maxn],mu[maxn],num[maxn];
int cas=1,n,m,vis[maxn],prime[maxn];

void
 
 init_mu()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<maxn; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}
long long int fast_pow(long long int s,long long int x)
{
    long long int ans=1;
    while(x>0)
    {
        if(x&1)
        {
            ans*=s;
            ans=mod(ans);
        }
        x>>=1;
        s*=s;
        s=mod(s);
    }
    return mod(ans);
}
long long int F(int x)
{
    long long int ans=1;
    for(int i=0;i<=maxn/x;i++)
    {
        ans*=fast_pow((long long int)i,num[min(x*(i+1),maxn)-1]-num[min(x*i,maxn)-1]);
        ans=mod(ans);
    }
    return mod(ans);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    init_mu();
    while(T--)
    {
        m=maxn<<1;
        scanf("%d",&n);
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            num[a[i]]++;
            if(a[i]<m)m=a[i];
        }
        for(int i=1;i<maxn;i++)
        {
            num[i]+=num[i-1];
        }
        long long int ans=0;
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            if(mu[i]==0)continue;
            if(mu[i]==1)ans-=F(i);
            else ans+=F(i);
            ans=mod(ans);
        }
        ans=mod(ans);
        printf("Case #%d: %lld\n",cas++,mod(ans));
    }
}