題意

給出一個長度為n的字串S，令 $T_i$表示它從第i個字元開始的字尾。求
（其中 $len$

( a ) len(a) 表示字串a的長度，lcp(a,b)表示字串a和字串b的最長公共字首）
$ans$

= ∑ 1 ≤ i < j ≤

n l e n ( T i ) + l e n ( T j ) − 2 ∗ l c p ( T i , T j ) ans=\sum_{1\leq i<j \leq n}len(T_i)+len(T_j)-2*lcp(T_i,T_j)

題解

我們試圖轉化要求和的那一坨，然而似乎並不能轉化出什麼？
我們可以分成兩部分
$ans_1=\sum_{1\leq i<j \leq n}len(T_i)+len(T_j)=\sum_{1\leq i<j \leq n}(n-i+1)+(n-j+1)=\sum_{1\leq i<j \leq n}i+j\\ =\sum_{i=1}^n((n-i)i+\sum_{j=i+1}^nj)=\sum_{i=1}^n((n-i)i+\frac{n^2+n-i^2-i}{2})\\ =\sum_{i=1}^n(n-i)i+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{i^2+i}{2}\\ =\frac{n^2(n+1)}{2}+\sum_{i=1}^nn_i+\frac{-3i^2-i}{2}\\ =\frac{n^2(n+1)}{2}+n\sum_{i=1}^ni-\frac{3}{2}\sum_{i=1}^ni^2-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^ni\\ =n^2(n+1)-\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}-\frac{n(n+1)}{4}=n^2(n+1)-\frac{n(n+1)^2}{2}\\ =\frac{n(n-1)(n+1)}{2}$

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