先來一道例題：

甲，乙兩個人玩 $Nim$取石子游戲。
$nim$

這道題有一個神奇的結論：當 $n$堆石子的數量異或和等於 $0$時，先手必勝，否則先手必敗。

看網上大部分對於這個結論中異或的出現解釋的都不是很清楚，這裡想結合自己的想法談一下這類問題的解法。

一、瞭解定義

我們要知道博弈問題通常有的兩種狀態：必勝態和必敗態。

所謂必勝態，就是在當前的局面下，先手必勝

必敗態，就是在當前的局面下，先手必敗。

那麼，這個遊戲的必敗態我們顯然知道，就是所有石子堆都為 $0$時。

二、從簡單入手

我們可以用一個 $n$元組（ $a_1, a_2, …, a_n$）來表示每一個局面，

例如， $(3,3,1)$表示一共三堆石子，第一二堆有三個，第三堆有一個。

顯然 $(3,3,1)$和 $(1,3,3)$是同一種局面，即交換每堆順序不影響答案。

如果初始局面只有一堆石子，則甲有必勝策略。

 甲可以一次把這一堆石子全部取完，這樣乙就無石子可取了。

如果初始局面有兩堆石子，而且這兩堆石子的數目相等，則乙有必勝策略。

 因為有兩堆石子，所以甲無法一次取完；
 如果甲在一堆中取若干石子，乙便在另一堆中取同樣數目的石子；
 根據對稱性，在甲取了石子之後，乙總有石子可取；
 石子總數一直在減少，最後必定是甲無石子可取。

對於初始局面(1)，甲有必勝策略，而初始局面(3, 3)，乙有必勝策略。

局面的加法: $(a_1, a_2, …, a_n) + (b_1, b_2, …, b_m) = (a_1, a_2, …, a_n, b_1, b_2, …, b_m)$

所以 $(3) + (3) + (1) = (3, 3) + (1) = (3, 3, 1)$。

對於局面 $A, B, S$，若 $S=A+B$，則稱局面 $S$可以分解為“子局面” $A$和 $B$。
局面 $(3, 3, 1)$可以分解為 $(3, 3)$和 $(1)$。

如果初始局面可以分成兩個相同的“子局面”，則乙有必勝策略。

 設初始局面 $S=A+A$，想象有兩個桌子，每個桌子上放一個 $A$局面；
 若甲在一個桌子中取石子，則乙在另一個桌子中對稱的取石子；
 根據對稱性，在甲取了石子之後，乙總有石子可取；
 石子總數一直在減少，最後必定是甲無石子可取。

對於局面S，若先行者有必勝策略，則稱“S勝”。
對於局面S，若後行者有必勝策略，則稱“S負”。
若 $A=(1)$， $B=(3, 3)$， $C=(2, 2, 5, 5, 5, 5, 7, 7)$，則 $A$勝， $B$負， $C$負。
我們要做的，就是如何判斷局面的勝負。

 如果局面 $S$勝，則必存在取子的方法 $S→T$，且 $T$負。
 如果局面 $S$負，則對於任意取子方法 $S→T$，有 $T$勝。

設初始局面 $S$可以分解成兩個子局面 $A$和 $B$（分解理論）。

若A和B一勝一負，則S勝。

 不妨設 $A$勝 $B$負；
 想象有兩個桌子 $A$和 $B$，桌子上分別放著 $A$局面和 $B$局面；
 因為 $A$勝，所以甲可以保證取桌子 $A$上的最後一個石子；
 與此同時，甲還可以保證在桌子 $B$中走第一步的是乙；
 因為 $B$負，所以甲還可以保證取桌子 $B$中的最後一個石子；
 綜上，甲可以保證兩個桌子上的最後一個石子都由自己取得。

若A負B負，則S負。

 無論甲先從 $A$中取，還是先從 $B$中取，都會變成一勝一負的局面；
 因此，乙面臨的局面總是“勝”局面，故甲面臨的 $S$是“負”局面。

即：若 $B$負，則 $S$的勝負情況與 $A$的勝負情況相同。

若A勝B勝，則有時S勝，有時S負。

 如果 $S=A+C+C$，則S的勝負情況與A相同。
 令 $B=C+C$，則 $S=A+B$且 $B$負，故 $S$的勝負情況與 $A$相同。

初始局面