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題意

給定一個無向圖，你需要從 $1$ 點出發到達 $n$ 點，你在每一點的時候，使用 $1$ 個單位的代價，隨機得到相鄰點的票，但是你可以選擇留在原地，也可以選擇使用掉這張票，問到達 $n$ 點的最小代價的方案的期望是多少。

題解

我們先假定在最優方案下從每個點 $x$ 出發，到達 $n$ 點的代價的期望為 $e_{x}$ ，那麼顯然，我們可以列出方程 $e_{x} = \frac{\sum m i n (e_{x}, e_{y})}{d e g_{x}} + 1$ ，其中 $y$ 與 $x$ 節點相連。初值 $d p_{n} = 0$ 。

借鑑 $G X Z l e g e n d$ 的一句話，遇見“初始值只有一個點的 $d p$ 值確定,其他點的 $d p$ 值依賴於已經計算出來的點的 $d p$

d p

值”這種型別的題，往往考慮使用最短路的方式轉移。

觀察方程，如果我們按照計算出來的 $e_{x}$ 從小到大的方式遍歷的話，那麼先計算出來的 $e_{x}$ 一定不會再被後計算出來的值更新，滿足跟最短路一樣的性質。

我們一開始假定所有的 $e_{x | x! = n} = i n f$ ,並且 $e_{n} = 0$ ，每個點的 $m i n (e_{x}, e_{y})$ 都取 $e_{x}$ 。

那麼我們模擬一下這個轉移過程，當前從堆裡取出的點是 $u$ ，相鄰的點有 $v$ ,我們發現 $v$ 是第一次被更新，因為 $e_{v} = i n f$ ，滿足 $e_{v} > e_{u}$ ，那麼 $v$ 就要被更新，即根據方程 $e_{v} = \frac{(d e g_{v} - 1) e_{v} + e_{u}}{d e g_{v}} + 1$

e_{v} = \frac{(d e g_{v} - 1) e_{v} + e_{u}}{d e g_{v}} + 1

，那麼

e_{v} = e_{u} + d e g_{v}

。
如果接下來某次取出的點是

p

，相鄰的點還有

v

，並且

e_{v} > e_{p}

，那麼

e_{v}

就要被二次更新了，也就是

e_{v} = \frac{(d e g_{v} - 2) e_{v} + e_{u} + e_{p}}{d e g_{v}} + 1

，那麼

e_{v} = \frac{e_{u} + e_{p} + d e g_{v}}{2}

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題意

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