1 歸併排序

1.1 基本思想

歸併排序（MERGE-SORT）是利用歸併的思想實現的排序方法，該演算法採用經典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法將問題分(divide)成一些小的問題然後遞迴求解，而治(conquer)的階段則將分的階段得到的各答案"修補"在一起，即分而治之)。
可以看到這種結構很像一棵完全二叉樹，本文的歸併排序我們採用遞迴去實現（也可採用迭代的方式去實現）。分階段可以理解為就是遞迴拆分子序列的過程，遞迴深度為log2n。

1.2 合併相鄰有序子序列

再來看看治階段，我們需要將兩個已經有序的子序列合併成一個有序序列，比如上圖中的最後一次合併，要將[4,5,7,8]和[1,2,3,6]兩個已經有序的子序列，合併為最終序列[1,2,3,4,5,6,7,8]，來看下實現步驟。

1.3 Java程式碼實現

package sortdemo;

import java.util.Arrays;

/**
 * Created by chengxiao on 2016/12/8.
 */
public class MergeSort {
    public static void main(String []args){
        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    public
 
 static void sort(int []arr){
        int []temp = new int[arr.length];//在排序前，先建好一個長度等於原陣列長度的臨時陣列，避免遞迴中頻繁開闢空間
        sort(arr,0,arr.length-1,temp);
    }
    private static void sort(int[] arr,int left,int right,int []temp){
        if(left<right){
            int mid = (left+right)/2;
            sort
 
(arr,left,mid,temp);//左邊歸併排序，使得左子序列有序
            sort(arr,mid+1,right,temp);//右邊歸併排序，使得右子序列有序
            merge(arr,left,mid,right,temp);//將兩個有序子數組合並操作
        }
    }
    private static void merge(int[] arr,int left,int mid,int right,int[] temp){
        int i = left;//左序列指標
        int j = mid+1;//右序列指標
        int t = 0;//臨時陣列指標
        while (i<=mid && j<=right){
            if(arr[i]<=arr[j]){
                temp[t++] = arr[i++];
            }else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }
        while(i<=mid){//將左邊剩餘元素填充進temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while(j<=right){//將右序列剩餘元素填充進temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        //將temp中的元素全部拷貝到原陣列中
        while(left <= right){
            arr[left++] = temp[t++];
        }
    }
}

結果:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

1.4 總結

歸併排序是穩定排序，它也是一種十分高效的排序，能利用完全二叉樹特性的排序一般效能都不會太差。java中Arrays.sort()採用了一種名為TimSort的排序演算法，就是歸併排序的優化版本。從上文的圖中可看出，每次合併操作的平均時間複雜度為O(n)，而完全二叉樹的深度為|log2n|。總的平均時間複雜度為O(nlogn)。而且，歸併排序的最好，最壞，平均時間複雜度均為O(nlogn)。

2 陣列中的逆序對

題目描述
在陣列中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個陣列中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007
輸入描述:
題目保證輸入的陣列中沒有的相同的數字。
資料範圍：
對於%50的資料,size<=10^4
對於%75的資料,size<=10^5
對於%100的資料,size<=2*10^5
示例1
輸入
1,2,3,4,5,6,7,0
輸出
7
使用歸併排序的思想，歸併子陣列的時候統計逆序對。
程式碼實現

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        if(data.size()<=1)  return 0;
        
        vector<int>  copy(data);
        return InversePairsCore(data,copy,0,data.size()-1);
    }
private:
    int InversePairsCore(vector<int> &data,vector<int> &copy, int begin, int end)
    {//合併data的兩半段到輔助陣列copy中有序
        if(begin==end)
        {
            copy[end]=data[end];
            return 0;
        }
        else
        {
            int mid=begin+(end-begin)/2;
            
            int left=InversePairsCore(copy,data,begin,mid);//使data的左半段有序，此處一定要注意是copy在前，data在後；copy和data輪流有序
            int right=InversePairsCore(copy,data,mid+1,end);//使data的右半段有序，此處一定要注意是copy在前，data在後；copy和data輪流有序
            
            int cnt=0;
            int cpIndex=end;
            int pre=mid;
            int post=end;
            //合併兩個有序段，到copy陣列 
            while(pre>=begin && post>=mid+1)
            {
                if(data[pre]>data[post])//每次比較的是兩個有序序列
                {
                    cnt=cnt+(post-mid-1+1);
                    copy[cpIndex--]=data[pre];
                    pre--;
                }
                else
                {
                    copy[cpIndex--]=data[post];
                    post--;
                }
            }
            
            for(;pre>=begin;--pre)
                copy[cpIndex--]=data[pre];
            for(;post>=mid+1;--post)
                copy[cpIndex--]=data[post];
            
            return left+right+cnt;
        }
    }
};

原文連結:

1. 【劍指offer】面試題36：陣列中的逆序對
2. 求陣列中的逆序對的數量----劍指offer36題
3. 圖解排序演算法(四)之歸併排序