[COCI2009]Dvapravca

LG傳送門

先給出考場上的\(O(n^3)\)亂搞方法：枚舉一個藍點和一個紅點，找出過著兩個點的直線，再枚舉藍點找出這條直線最多能往兩邊擴展多寬，最後枚舉紅點計算貢獻。

註意在確定一條直線能往兩邊擴展多寬時不要求點到直線的距離，否則常數會太大，只要求豎直方向的距離就可以了。正確性顯然，具體看代碼。

現在有個重要的問題，求大佬來解決：如果直接這樣寫會被卡到65到70分，但是如果把藍點和紅點按\(x\)為第一關鍵字\(y\)為第二關鍵字從小到大排個序，就能得到90至100分（考試時用的評測機能跑到90分，洛谷神機上能切）。然而我不會證明這樣究竟優化在哪裏，求大佬證明。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define R register
#define I inline
#define D double
using namespace std;
const int N=1003,inf=0x3f3f3f3f;
struct V{int x,y;}r[N],b[N];
struct L{D k,b;}f;
I int operator<(V a,V b){return a.x^b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
I D min(D x,D y){return x<y?x:y;}
I int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
I L lin(V a,V b){
    if(a.x==b.x)
        return (L){inf,0};
    D k=(D)(b.y-a.y)/(b.x-a.x);
    return (L){k,(D)a.y-k*a.x};
}
I D dst(V a){return f.k*a.x+f.b-a.y;}
int main(){
    R int n,x,y,i,j,t,p=0,q=0,g,h,o=0;
    R char c[2];
    D d,u,v;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d%s",&x,&y,c);
        if(c[0]=='R')
            r[++p]=(V){x,y};
        else
            b[++q]=(V){x,y};
    }
    sort(b+1,b+q+1),sort(r+1,r+p+1);//就是這裏，不加會慢很多
    for(i=1;i<=q;++i)
        for(j=1;j<=p;++j){
            f=lin(b[i],r[j]),u=v=inf,g=h=1;
            for(t=1;t<=q;++t)
                if(t^i)
                    if((d=dst(b[t]))>0)
                        u=min(u,d);
                    else
                        v=min(v,-d);
            for(t=1;t<=p;++t)
                if(t^j)
                    if((d=dst(r[t]))>0)
                        g+=d<u;
                    else
                        h+=-d<v;
            o=max(o,max(g,h));
        }
    printf("%d",o);
    return 0;
}
 

親測如果沒加sort應該是過不了的，xzz大神仙嘗試把坐標系隨機旋轉了一下，變得更快了。所以這道題告訴我們一個經驗：碰見不會的計算幾何題，先隨機旋轉坐標系，再把點排一遍序，打起暴力更有自信！

還是放一下正解\(O(n^2 log n)\)的做法吧。考慮如果要求直線垂直於\(x\)軸，那麽如果把點按剛才所說的排一遍序，要求的就是序列上連續的最長的\(1\)的個數（如果把紅色視作\(1\)）。由於直線可以傾斜，考慮旋轉坐標系，當某兩個點連線的斜率與當前\(y\)軸在原坐標系中的斜率相等時，這兩個點在序列上的位置就會交換，這下可以用線段樹來維護，由於最多交換\(O(n^2)\)次順序，復雜度是\(O(n^2 log n)\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define R register
#define I inline
#define D double
using namespace std;
const int N=1003,M=1000003,S=4003;
int f[N],n;
struct T{int f,l,r,d;}e[S];
struct V{int x,y,c;}p[N];
struct L{D k; int x,y;}q[M];
I int operator<(V a,V b){return a.x^b.x?a.x<b.x:a.y<b.y;}
I int operator<(L a,L b){return a.k>b.k;}
I int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
I T operator+(T x,T y){
    T z;
    z.f=max(x.r+y.l,max(x.f,y.f)),z.d=x.d+y.d;
    if(x.l==x.d)
        z.l=x.d+y.l;
    else
        z.l=x.l;
    if(y.r==y.d)
        z.r=x.r+y.d;
    else
        z.r=y.r;
    return z;
}
I void swp(int&x,int&y){x^=y,y^=x,x^=y;}
I void upd(int k,int v){e[k]=(T){v,v,v,1};}
I void bld(int k,int l,int r){
    if(l==r){
        upd(k,p[l].c);
        return ;
    }
    R int p=k<<1,q=p|1,m=l+r>>1;
    bld(p,l,m),bld(q,m+1,r),e[k]=e[p]+e[q];
}
void mdf(int k,int l,int r,int x,int v){
    if(l==r){
        upd(k,v);
        return ;
    }
    R int p=k<<1,q=p|1,m=l+r>>1;
    if(x<=m)
        mdf(p,l,m,x,v);
    else
        mdf(q,m+1,r,x,v);
    e[k]=e[p]+e[q];
}
int main(){
    R int i,j,x,y,t=0,o;
    R char c[2];
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d%s",&x,&y,c);
        if(c[0]=='R')
            p[i]=(V){x,y,1};
        else
            p[i]=(V){x,y,0};
    }
    sort(p+1,p+n+1);
    for(i=1;i<=n;++i)
        f[i]=i;
    for(i=1;i<n;++i)
        for(j=i+1;j<=n;++j)
            q[++t]=(L){(D)(p[j].y-p[i].y)/(p[j].x-p[i].x),i,j};
    sort(q+1,q+t+1),bld(1,1,n),o=e[1].f;
    for(i=1;i<=t;++i){
        x=f[q[i].x],y=f[q[i].y],swp(f[q[i].x],f[q[i].y]);
        if(p[x].c^p[y].c)
            swp(p[x].c,p[y].c),mdf(1,1,n,x,p[x].c),mdf(1,1,n,y,p[y].c),o=max(o,e[1].f);
    }
    printf("%d",o);
    return 0;
}
 

[COCI2009]Dvapravca 計算幾何