SG函數和SG定理【詳解】
在介紹SG函數和SG定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.
必勝點和必敗點的概念： P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。 N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。 必勝點和必敗點的性質： 1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設） 2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。 3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。 我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!為例： 當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了 當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點 當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點 當 n = 3 時，要麽就是剩一張要麽剩兩張，無論怎麽取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。 以此類推，最後你就可以得到； n ： 0 1 2 3 4 5 6 ... position： P N N P N N P ... 你發現了什麽沒有，對，他們就是成有規律，使用了 P/N來分析，有沒有覺得問題變簡單了。 現在給你一個稍微復雜一點點的： hdu 2147 kiki‘s game現在我們就來介紹今天的主角吧。組合遊戲的和通常是很復雜的，但是有一種新工具，可以使組合問題變得簡單————SG函數和SG定理。
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
遊戲和的SG函數等於各個遊戲SG函數的Nim和。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因為單堆的Nim遊戲 SG函數滿足 SG(x) = x。對博弈不是很清楚的請參照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html進行進一步理解。
SG函數：
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函數值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG(c)，那麽SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函數的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。
【實例】取石子問題
有1堆n個的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }個石子，先取完石子者勝利，那麽各個數的SG值為多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 時，可以取走1 - f{1}個石子，剩余{0}個，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 時，可以取走2 - f{1}個石子，剩余{1}個，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 時，可以取走3 - f{1,3}個石子，剩余{2,0}個，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 時，可以取走4- f{1,3,4}個石子，剩余{3,1,0}個，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 時，可以取走5 - f{1,3,4}個石子，剩余{4,2,1}個，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此類推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述實例我們就可以得到SG函數值求解步驟，那麽計算1~n的SG函數值步驟如下：
1、使用 數組f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。
2、然後我們使用 另一個數組 將當前狀態x 的後繼狀態標記。
3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜索 未被標記值 的最小值，將其賦值給SG(x)。
4、我們不斷的重復 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函數值。
代碼實現如下：
//f[N]:可改變當前狀態的方式，N為方式的種類，f[N]要在getSG之前先預處理 //SG[]:0~n的SG函數值 //S[]:為x後繼狀態的集合 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN]; void getSG(int n){ int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); //因為SG[0]始終等於0，所以i從1開始 for(i = 1; i <= n; i++){ //每一次都要將上一狀態 的 後繼集合 重置 memset(S,0,sizeof(S)); for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; //將後繼狀態的SG函數值進行標記 for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查詢當前後繼狀態SG值中最小的非零值 SG[i] = j; break; } } }View Code
現在我們來一個實戰演練（題目鏈接）：
只要按照上面的思路，解決這個就是分分鐘的問題。
代碼如下：
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXN 1000 + 10 #define N 20 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN]; void getSG(int n){ int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); for(i = 1; i <= n; i++){ memset(S,0,sizeof(S)); for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; for(j = 0;;j++) if(!S[j]){ SG[i] = j; break; } } } int main(){ int n,m,k; f[0] = f[1] = 1; for(int i = 2; i <= 16; i++) f[i] = f[i-1] + f[i-2]; getSG(1000); while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){ if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n"); else printf("Nacci\n"); } return 0; }View Code
大家是不是還沒有過癮，那我就在給大家附上一些組合博弈的題目： POJ 2234 Matches Game HOJ 4388 Stone Game II POJ 2975 Nim HOJ 1367 A Stone Game POJ 2505 A multiplication game ZJU 3057 beans game POJ 1067 取石子遊戲 POJ 2484 A Funny Game POJ 2425 A Chess Game POJ 2960 S-Nim POJ 1704 Georgia and Bob POJ 1740 A New Stone Game POJ 2068 Nim POJ 3480 John POJ 2348 Euclid‘s Game HOJ 2645 WNim POJ 3710 Christmas Game POJ 3533 Light Switching Game
最後在這裏謝謝學姐，大家都去支持她哦（學姐最好了）
Angel_Kitty
SG函數和SG定理【詳解】