0. 簡單結論

• 對於堆，子樹的最大節點數為 2/3n；（樹的最底層恰好半滿）
  
  • 0 層節點數：20=1$2^0=1$
  • 1層節點數：21=2$2^1=2$
  • m-1 層節點數：2m−1$2^{m-1}$，一半有左右孩子，2m−2$2^{m-2}$，左右孩子也即底部的葉子節點的數量 2m−1$2^{m-1}$；
    
    • 前 m-1 層（排除掉最底層）節點數為 2m−1$2^m-1$，前 m−1$m-1$ 層，左邊節點右邊節點 (2m−1)/2$(2^m-1)/2$；

1. 數學歸納法

• 高度為 n$n$ 的二叉樹，葉子結點不多於 2n$2^n$。

  數學歸納法，證明三部曲：

  • n=0$n=0$，只有一個根節點，則葉子結點也為此根節點，為 1，不多於 20$2^0$

  • 令高度為 k$k$，葉子結點不多於

    2k$2^k$，我們需證明：高度為 k+1$k+1$ 時，葉子結點不多於 2k+1$2^{k+1}$

    高度為 k+1$k+1$ 時，考慮其左右孩子，則其左右孩子（也即左右子樹），高度不高於 k$k$，則左右孩子葉子節點數也均不高於 2k$2^k$，即左子樹，樹高不高於 k$k$，葉子結點數不高於 2k$2^k$，右子樹，樹高不高於 k$k$，葉子結點數不高於 2k$2^k$，則總的葉子節點數：≤2k+2k=2k=1$\le 2^k+2^k=2^{k=1}$

2. 二叉堆

• 任意一個正整數 n$n$，均可拆分為 n=(2m−1)+k$n=(2^m-1)+k$（m$m$ 為能取得的最大整數），對於包含 n$n$ 個節點的堆，前 m−1$m-1$ 層的節點數為 ∑m−1i=02i=2
  m−1$\sum _{i=0}^{m-1}{2}^i=2^m-1$，最底層有 k$k$ 個葉子節點，並非整個二叉樹有 k$k$ 個葉子節點；

• 高度為 h$h$ 的堆中，元素個數最多最少分別是多少？

  考慮高度為 h−1$h-1$ 和高度為 h$h$ 的滿二叉樹。

  • 對於高度為 h−1$h-1$ 的滿二叉樹，樹中節點的個數為：∑h−1i=02i=2h−1$\sum _{i=0}^{h-1}{2}^i=2^h-1$（全1二進位制數），
  • 高度為 h$h$ 的滿二叉樹，樹中節點個數為：∑hi=02i=2h+1−1$\sum _{i=0}^h{2}^i=2^{h+1}-1$

  則高度為 h−1$h-1$ 滿二叉樹節點數+1，即 2h

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