從第一次上地圖學的課開始，對GIS最基本的地圖座標系統就很迷。也難怪，我那時候並不是GIS專業的學生，僅僅是一門開卷考試的專業選修課，就沒怎麼在意。

等我真正接觸到了各種空間資料產品，我才知道萬里長征第一步就是：處理座標系統。

想必多多少少都會聽說過幾個名詞，也許悠遠，也許模糊。高斯克呂格，北京54，西安80，WGS84，投影座標系統，etc.

今天就從頭說起，講講那些座標系統的事情。

慣例，給個目錄：

1. 經緯度與GCS（Geographic Coordinate System, 地理座標系統）

2. 方里網與PCS（Projection Coordinate System, 投影座標系統）

3. GCS和PCS的轉化問題（三引數與七引數問題）

4. 火星座標問題

1. 在第一部分，我介紹一下以經緯度為準的地理座標系統，也順帶提及一下我國的高程座標系。主要涉及的內容有：大地水準面問題，橢球問題，常見的GCS（如北京54，西安80，CGCS2000，WGS84等），讓大家看到GIS資料中的GCS馬上就能知道這是什麼東西。
2. 在第二部分，我介紹一下以平面直角座標系為量度的投影座標系統。主要涉及的內容有：PCS與GCS的關係，我國常見的PCS（高斯克呂格、蘭伯特/Lambert、阿爾伯斯Albers、墨卡託Mercator、通用橫軸墨卡託UTM、網路墨卡託Web Mercator）。
3. 在第三部分，是實際操作過程中遇到的種種問題，如投影不對會出現什麼情況、如何轉換GCS、如何切換PCS（重投影問題）等問題，涉及一些數學轉換的思維，需要有一定的空間想象能力。
4. 在第四部分，我簡單介紹一下所謂的火星座標。

那麼我們開始吧！

1. 經緯度與GCS

天氣預報也好，火箭發射也罷，地震、火山等事故發生時，電視臺總會說東經XX度，北緯YY度。這個經緯度中學地理就學過了，我就不細說了。

我從如何描述地球說起。

1.1 凹凸不平的地球

誰都知道地球表面不平坦，它甚至大概形狀都不是一個正球體，是一個南北兩極稍扁赤道略胖的胖子，胖度大概是20km，在外太空幾乎看不出來的，這也可能和星球長期受到潮汐引力、太陽引力以及自身旋轉的向心力有關。這裡不是地球科學，就不再深究了。

為了能讓地球出現在數學家的公式裡，我們曾經走過了2個階段：用平靜的海面描述地球——用虛擬的旋轉橢球面描述地球表面。

這裡也不是地圖學，再深入下去其實還有似大地水準面等概念。就挑重點講。

“假設地球表面都是水，當海平面風平浪靜沒有波瀾起伏時，這個面就是大地水準面。”大家應該知道，在太空失重的環境下，水相對靜止狀態是個正球體，那麼肯定很多人就認為，大地水準面就是個正球面。不是的，還需要考慮一個問題：地球各處的引力不同。引力不同，就會那兒高一些，這兒低一些，儘管這些微小的差距肉眼難以觀測出來，可能隔了好幾千米才會相差幾釐米。所以，在區域性可能看起來是個球面，但是整體卻不是。顯然，用大地水準面來進行數學計算，顯然是不合適的，至少在數學家眼中，認為這不可靠。

所以找到一個旋轉橢球面就成了地理學家和數學家的問題。（注意區分橢球面和旋轉橢球面這兩個數學概念，在GCS中都是旋轉橢球面）

給出旋轉橢球面的標準方程：

(x²+y²)/a²+z²/b²=1

其中x和y的引數相同，均為a，這就代表一個繞z軸旋轉的橢圓形成的橢球體。不妨設z軸是地球自轉軸，那麼這個方程就如下圖是一個橢球體，其中赤道是個圓。

這樣，有了標準的數學表示式，把資料代入公式計算也就不是什麼難事了。

由此我們可以下定義，GIS座標系中的橢球，如果加上高程系，在其內涵上就是GCS（地理座標系統）。其度量單位就是度分秒。

描述一個旋轉橢球面所需的引數是方程中的a和b，a即赤道半徑，b即極半徑，f=(a-b)/a稱為扁率。

與之對應的還有一個問題：就是座標中心的問題。（地球的中心在哪裡？）

【注】十九世紀發現赤道也是一個橢圓，故地球實際應以普通橢球面表示，但是由於各種原因以及可以忽略的精度內，一直沿用旋轉橢球體作為GCS。

1.2 參心座標系、地心座標系

上過中學物理的人知道，物體均有其質心，處處密度相等的物體的質心在其幾何中心。所以，地球只有一個質心，只是測不測的精確的問題而已。由地球的唯一性和客觀存在，以地球質心為旋轉橢球面的中心的座標系，叫地心座標系，且唯一。當然，由於a、b兩個值的不同，就有多種表達方式，例如，CGCS2000系，WGS84系等，這些後面再談。

【注】地心座標系又名協議地球座標系，與GPS中的瞬時地球座標系要對應起來。

但是又有一個問題——政治問題，地圖是給一個國家服務的，那麼這地圖就要儘可能描述準確這個國家的地形地貌，儘量減小誤差，至於別國就無所謂。

所以，就可以人為的把地球的質心“移走”，將區域性的表面“貼到”該國的國土，使之高程誤差儘量減小到最小。

這個時候，就出現了所謂的“參心座標系”。即橢球中心不在地球質心的座標系。如下圖：

綠色的球就是為了貼合赤道某個地方而產生了平移的參心繫（這裡只是個例子，而且畫的有點誇張）。

我國常用的參心繫及對應橢球：

• 北京54座標系：克拉索夫斯基橢球體
• 西安80座標系：IAG75橢球體

我國常用的地心繫及對應橢球：

• WGS84座標系：WGS84橢球體（GPS星曆的座標系，全球統一使用，最新版於2002年修正）
• CGCS2000座標系：CGCS2000橢球體（事實上，CGCS2000橢球和WGS84橢球極為相似，偏差僅有0.11mm，完全可以相容使用）

為什麼CGCS2000和WGS84要略微有些偏差？這是因為WGS84系是GPS的座標系，而我國北斗定位則是需要自己的座標系，就搞了一波CGCS2000。

這幾個座標系的介紹放在下一節，而這些橢球體的轉換將在第三部分介紹（主要就是數學中，空間直角座標系旋轉的問題）。

1.3 我國常見GCS

藉助以下4個常見座標系及橢球體，就可以推及到世界各地不同的GCS及橢球體，完成資料的轉化問題。

1.3.1 北京54座標系（參心）

新中國成立以後，我國大地測量進入了全面發展時期，再全國範圍內開展了正規的，全面的大地測量和測圖工作，迫切需要建立一個參心大地座標系。由於當時的“一邊倒”政治趨向，故我國採用了前蘇聯的克拉索夫斯基橢球引數，並與前蘇聯1942年座標系進行聯測，通過計算建立了我國大地座標系，定名為1954年北京座標系。因此，1954年北京座標系可以認為是前蘇聯1942年座標系的延伸。它的原點不在北京而是在前蘇聯的普爾科沃。

• 橢球體：Krasovsky橢球
• 極半徑b=6 356 863.0187730473 m
• 赤道半徑a=6 378 245m
• 扁率=1/298.3
• 高程系：56黃海系

1.3.2 西安80座標系（參心）

改革開放啦，國家商量要搞一個更符合國用的座標系——西安80座標系，該座標系的大地原點設在我國中部的陝西省涇陽縣永樂鎮，位於西安市西北方向約60公里。

• 橢球體：IAG橢球（全名是啥還得去翻翻課本。。。）
• 極半徑b=6 356 755m
• 赤道半徑a=6 378 140m
• 扁率=1/298.25722101
• 高程系：85黃海系

1.3.3 WGS84座標系（地心）

全稱World Geodetic System - 1984，是為了解決GPS定位而產生的全球統一的一個座標系。

• 橢球體：WGS84橢球
• 極半徑b=6 356 752.314 245 179 5m
• 赤道半徑a=6 378 137 m
• 扁率=1/298.257223563
• 高程系：？根據國家需求定？

1.3.4 CGCS2000座標系（地心）

2000國家大地座標系是全球地心座標系在我國的具體體現，其全稱為China Geodetic Coordinate System 2000，其原點為包括海洋和大氣的整個地球的質量中心。

• 橢球體：CGCS2000座標系
• 極半徑b=6 356 752.314 140 355 8m
• 赤道半徑a=6 378 137m
• 扁率=1/298.257222101
• 高程系：85黃海系

【注】CGCS2000的定義與WGS84實質一樣。採用的參考橢球非常接近。扁率差異引起橢球面上的緯度和高度變化最大達0.1mm。當前測量精度範圍內，可以忽略這點差異。可以說兩者相容至cm級水平

最後一張表總結一下：

有趣的是，在ArcGIS的GCS資料夾下，找到了一個“新北京54座標系”，這是為了使54和80之間方便轉化而產生的一個過渡座標系。

2. 方里網與PCS

說完了以經緯度為計量單位的GCS，那麼我再來說說以平面（空間）直角座標系為度量衡的投影座標系（PCS，Projection Coordinate System）。

說一個具體的問題以解釋為什麼要用PCS。

如何用經緯度表達一塊地的面積？

這沒辦法吧？經緯度本身不帶單位，度分秒僅僅是一個進位制。

而且同樣是1度經度，在不同的緯度時代表的弧段長是不一樣的。

這就給一些地理問題帶來了困惑：如何建立一個新的座標系使得地圖分析、空間分析得以定量計算？

PCS——投影座標系就誕生了。

我要著重介紹一下我國的6種常用投影方式：

• 高斯克呂格（Gauss Kruger）投影=橫軸墨卡託（Transverse Mercator）投影
• 墨卡託（Mercator）投影
• 通用橫軸墨卡託（UTM）投影
• Lambert投影
• Albers投影
• Web Mercator（網路墨卡託）投影

很多課本、部落格都寫的很詳細了，我想從3D的圖形來描述一下他們是怎麼個投影的。

2.1 從投影說起

如上圖。光線打到物體上，使得物體產生的陰影形狀，就叫它的投影。這個不難理解。

這裡我想問一個問題：既然投影物體，是不變的，那麼我把投影的平面改為曲面呢？

這就產生了不同的投影，比如投射到一個圓錐面上，一個圓柱面上，一個平面上...等等。

不同的投影方式有不同的用途，也有了不同的投影名稱。

但是，PCS是基於存在的GCS的，這個直接規定。沒有GCS，就無從談PCS，PCS是GCS上的地物投射到具體投影面的一種結果。

即：

PCS=GCS+投影方式

2.2 我國常見投影

2.2.1 高斯克呂格投影/橫軸墨卡託投影

英文名Gauss Kruger。在一些奇奇怪怪的原因中，又名橫軸墨卡託投影，英文名Transverse Mercator。

它的投影面是橢圓柱面，假設橢圓柱躺著，和地軸垂直，而且投影面與之相切，就是橫軸墨卡託了。

中央那條黑線就是投影中心線，與橢圓柱面相切。這條線逢360°的因數就可以取，一般多用3度帶、6度帶。

就是說，這個投影橢圓柱面可以繼續繞著地軸繼續轉，圖中還有一條經線，兩條相差6度。

橢圓柱面旋轉6度，繼續投影，直到360/6=60個投影帶投影完畢。

注意3度帶和6度帶的起算經線不同，以及Y方向（赤道方向）前需要加投影帶號。

高斯克呂格已經廣為熟知了，我就不作具體介紹，大家可以找比我解釋的更好的，我只是擺個圖希望大家看的更仔細。

這個投影的特點是，等角/橫/切橢圓柱/投影。

即

• 投影后的地圖，角度不變，面積有變。離中央經線越遠的地區，面積變化越大。此投影合適用於導航。
• 投影橢圓柱面是橫著的；
• 投影橢圓柱面與橢球體相切。

適用比例尺：1：2.5萬~1：100萬等使用6度分帶法；1：5000~1：10000使用3度分帶法。

【注】在ArcGIS中，不同的GCS的PCS是不同的，以CGCS2000、西安80和北京54為例：

CGCS2000_3_Degree_GK_CM_111E：CGCS2000的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影座標系

CGCS2000_3_Degree_GK_Zone_30：CGCS2000的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第30個投影帶的投影座標系

Beijing_1954_3_Degree_GK_CM_111E：北京54的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影座標系

Beijing_1954_3_Degree_GK_Zone_35：北京54的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第35個投影帶的投影座標系

Xian_1980_3_Degree_GK_CM_111E：西安80的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，以中央經線為東經111度的投影帶的投影座標系

Xian_1980_3_Degree_GK_Zone_34：西安80的GCS下，使用高斯克呂格3度分帶法，第34個投影帶的投影座標系

不難發現，都是以GCS起頭的命名法。

2.2.2 墨卡託投影

英文名Mercator投影。

數學上，投影面是一個橢圓柱面，並且與地軸（地球自轉軸）方向一致，故名：“正軸等角切/割圓柱投影”。

既可以切圓柱，也可以割圓柱。

其實就是高斯克呂格的圓柱面豎起來。

2.2.3 通用橫軸墨卡託投影（UTM投影）

英文全稱Universal Transverse Mercator。是一種“橫軸等角割圓柱投影”

和高斯克呂格類似，高斯克呂格的投影面是與橢球面相切的，這貨與橢球面相割。

實質上

• UTM投影=0.9996高斯投影

其餘性質都和高斯克呂格投影一樣。

割於緯度80°S和84°N。中央經線投影后，是原長度的0.9996倍。

不過，起算投影帶是180°經線，174°W則是第二個投影帶的起算經線。

由於有以上優點，UTM投影被許多國家和地區採用，作為大地測量和地形測量的投影基礎。

【注】UTM投影是我國各種遙感影像的常用投影。

【注2】UTM投影在ArcGIS中的定義

例如：

WGS_1984_UTM_Zone_50N，就代表WGS1984的GCS下，進行UTM投影，投影帶是50N.

WGS_1984_Complex_UTM_Zone_25N，就代表WGS1984的GCS下，進行3度分帶UTM投影，投影帶是25N.

2.2.4 Lambert投影

中文名蘭伯特投影、蘭博特投影。

我國地形圖常用投影，比如1：400萬基礎資料：

（GCS是北京54）可以看到授權是自定義，說明這個投影是自定義的，沒有被官方收錄。等到第三部分再說怎麼自定義投影。

我國的基本比例尺地形圖(1:5千，1:1萬，1:2.5萬，1:5萬，1:10萬，1:25萬，1:50萬，1:100萬)中，1:100萬地形圖、大部分省區圖以及大多數這一比例尺的地圖多采用Lambert投影。

蘭伯特投影是一種“等角圓錐投影”。

ArcGIS中的投影系一般帶有Lambert_Conformal_Conic等字樣，國際上用此投影編制1∶100萬地形圖和航空圖。

它就像是一個漏斗罩在乒乓球上：

更標準的畫法，見下圖，有切和割兩種。

它沒有角度變形。

這個漏斗的傾斜程度，就有三種：正軸、橫軸、斜軸。就是圓錐的方向和地軸的方向的問題。

2.2.5 Albers投影

中文名阿伯斯投影。又名“正軸等積割圓錐投影”，常用於我國各省市的投影。

和上一個蘭伯特圖形類似，就是一個圓錐與橢球面切割，進行等積投影。

給了官方WKID：102025.

與Lambert投影的區別大概就在一個等角，一個等積投影了。

2.2.6 Web墨卡託（WebMercator投影）

這是一個由Google提出的、為了自家GoogleMap而專門定義的一種投影，是墨卡託投影的一種變種。

主要是將地球橢球面當作正球面來投影，這就會導致一定的誤差。

直接看看ArcGIS中的定義：

給了WKID：3857，名字是WGS_1984_Web_Mercator_Auxiliary_Sphere，意思就是在WGS84的GCS下進行web墨卡託投影。

現在，經常被百度地圖等網路地圖採用，估計是Web程式設計師想省事吧。

3. GCS與PCS的轉換問題（ArcGIS實現）

3.1 GCS轉GCS

這就是屬於空間解析幾何裡的空間直角座標系的移動、轉換問題，還有個更高階的說法——仿射變換。

我們知道，空間直角座標系發生旋轉移動縮放，線上性代數裡再常見不過了。在攝影測量學中，旋轉矩陣就是連線像空間輔助座標系與像空間座標系的轉換引數（好像不是這倆座標系，忘了）

欲將一個空間直角座標系仿射到另一個座標系的轉換，需要進行平移、旋轉、縮放三步，可以無序進行。

而平移、旋轉又有三個方向上的量，即平移向量=（dx,dy,dz）和旋轉角度（A,B,C），加上縮放比例s，完成一個不同的座標系轉換，就需要7引數。

我們知道，地心座標系是唯一的，即原點唯一，就說明平移向量是0向量，如果縮放比例是1，那麼旋轉角度（A,B,C）就是唯一的仿射引數，即3引數。

上圖左圖為座標系平移，右圖為座標系旋轉。縮放可以在任意階段進行。

——————以上為理論預備——————

說了這麼多理論，如何進行GCS轉換呢？假設一個數據源已經有了GCS，我們需要做的操作只有一個：

開啟如下工具：資料管理工具/投影和變換/投影，設定介面如下（以WGS1984轉西安80為例）：

別選錯了，這裡輸入輸出都是GCS。然後出現以下警告：

這就告訴你，需要引數轉換。在這裡，WGS84轉西安80，是屬於7引數轉換（地心轉參心），但是缺少7引數，就需要自己去測繪局買或者自己粗略算。

那麼如何定義一個地理座標變換呢？

使用投影的旁邊的工具：

即可。見下圖：

使用Position_Vector方法（即7引數法）即可輸入7引數。我就不輸入了，各位有資料的可以繼續做。

關於3引數和7引數，在ArcGIS幫助文件裡都寫有的，目錄如下：

3.2 GCS進行投影

這個就更簡單了。

隨便挑個GCS，喜歡什麼用什麼，如西安80投影到UTM投影，都可以的。

仍然是上節提及的“投影工具”：

這樣就可以了，這裡是以WGS84的GCS投影到UTM的第50分度帶上。

如果是進行柵格資料的投影，就用“柵格”資料夾下的“投影柵格”工具。

如果所需投影系沒有自己需要的GCS，就自定義一個：

這個視窗在Catalog浮動窗或者Catalog軟體裡開啟某個資料的屬性，找到XY座標系的選項卡，就可以新建。

【注】如果在資料的屬性頁的XY座標系選項卡，或者圖層資料框的XY座標系選項卡中修改GCS，這僅僅是改個名，座標值還是原來的座標系上的，這代表老座標值並沒有轉換到新座標系上。形象的說，就是換湯不換藥，這是不對的。我這裡說的用投影的方法，才是真正的座標仿射變換到新的座標系，使之更改數值，形成在新的座標系下的新座標值。

3.3 PCS轉PCS（重投影）

最常見的就是下載了谷歌影像圖，是Web墨卡託的投影，但是實際又需要高斯投影，那麼基於WGS84這個GCS，就可以進行重投影。

在這裡，我就以UTM投影轉Web墨卡託投影為例：

這次是用“柵格”資料夾下的“投影柵格”工具：

一般選好紅框的三個引數即可。

如果仍然提示需要地理座標變換的警告，說明不是一個GCS的資料，需要3引數或者7引數轉換。

柵格資料類似，使用“投影工具”。

工具定位。

3.4 定義投影

這不是定義一個投影座標系，而是給有座標值的向量或者柵格資料新增一個投影座標系而已。

使用“定義投影”工具即可，既可以定義GCS，也可以定義PCS（這軟體的中文翻譯有點毛病）。

3.5 地理配準與空間校正

這個就不多說了，地理配準就是使螢幕座標系的掃描地圖仿射、二次三次變換到真正投影座標系的過程，自動加上目標資料的PCS。有了PCS後就會自動加上GCS。

地理配準主要是針對柵格資料。

空間校正則是針對向量資料進行仿射、二次、三次變換。

3.6 可能出現的錯誤

3.6.1 顯示幾十萬位數字的“經緯度”

如上圖。

這是有了PCS後，在Catalog的資料屬性頁的XY座標系選項卡里，選中GCS，然後應用的結果。

原本是方里網的數字，變成了GCS才有的度分秒。

解決方法：Catalog屬性頁將GCS改回原來的PCS即可。

3.6.2 顯示三位數、兩位數的“米”

這個暫時沒找到案例，曾經見過。

3.6.3 顯示一個幾乎是0，一個又很大很大位數的數字

如上圖。

這個屬於資料本身有GCS，但是在Catalog的XY座標系選項卡里給它新增PCS然後應用後，可能會出現的錯誤。

解決方法：在Catalog屬性頁的XY座標系選項卡里，選中原來的GCS然後應用即可。

如果資料本身沒有PCS，應該做的是投影操作。

3.6.4 大範圍的資料給了小範圍的投影

例如，整個中國地圖理應跨越好幾個投影帶，卻給了某一個投影帶的投影座標系，這就會出現負值。如下圖，紅框箭頭是滑鼠的位置。

這個按理說應該用蘭伯特投影，但是卻給了一個UTM第49區的PCS，所以在中央經線靠左很多的位置會出現負值。

解決方法：這個直接做重投影即可。

以上四種錯誤比較常見，但是手頭沒有案例，以後遇到再發上來吧。

總結一下：

4. 火星座標

火星座標這個東西很常見，出現在網際網路地圖上。例如百度、騰訊、谷歌等地圖。

出於保密等政治因素，地圖的GCS座標值，會被一種特殊的數學函式加密一次，會偏離真實座標數百米的距離，但是反饋到使用者端的卻是正確的位置資訊（也就是說你拿到GCS座標也沒用，拿GPS到實地跑跟拿著地圖定位，可能會偏出幾十米甚至一百米的距離）。

火星座標系原名國測局座標系（GCJ-02），有篇文章比我寫的透徹多了，甚至給出了還原始碼，我放到參考資料了，有興趣的可以看看。

參考資料

&ArcGIS 幫助文件