1 logistic迴歸與sigmoid函式

考慮如下線性函式：

y=wwTxx+b(1)
輸出y為連續的實值，如何讓輸出成為二值來完成二分類任務？即y∈{0,1},最理想的是單位階躍函式即：
y=⎧⎩⎨⎪⎪0,z<00.5,z=01,z>0(2)
但是，單位階躍函式不連續，不利於求解權值，構建模型。於是sigmoid函式（對數機率函式，logistic function）出現了，他單調可微，並且形似階躍函式，其公式描述如下所示:
y=11+e−(wwTxx+b)(3)
sigmoid曲線如下圖所示：

令y表示當輸入為x時，輸出為正例的概率（可能性），即y=P(Y=1|X=

x),1−y表示當輸入為x時，輸出為反例的概率（可能性），即1−y=P(Y=0|X=x)，兩者的比值y1−y稱為機率（odds），對其取對數即達到對數機率，所以logistic迴歸又稱為對數機率迴歸。因此根據（2）可得對數機率迴歸（logistic迴歸）公式如下所示：

logy1−y=wwTxx+b(4)

2 二項邏輯斯蒂迴歸模型與引數估計

由式（3）可得二項邏輯斯蒂迴歸模型如下所示：

logP(Y=1|X=x)1−P(Y=1|X=x)=wwTxx(5)
其中，ww=(w1,w2,...,wm,b)T，xx=(x1,x2,...,xm,1)
學習模型的關鍵是對權值ww的學習，已知的是訓練樣本即輸入及其對應的標籤，利用已知輸入樣本來如何學習權值？該學習過程可以轉化為帶約束的最優化問題，或者以極大似然函式為目標函式（策略）並使用梯度上升或者牛頓法等最優化演算法。下邊以後者為學習方法，來求解邏輯斯蒂迴歸模型。
極大似然函式的假設是：訓練樣本出現的概率最大。換句話所就是，有些事情具有多種可能，而其中一種可能值出現，其他可能值未出現，在這個過程中，出現的可能值具有較大概率，所以才會出現。
一種學習方法的假設很重要，合理、科學的假設代表了學習方法的正確方向，在該假設條件下，得出的模型往往能夠達到預期效果。
設訓練樣本{XX,yy},XX={xjxj},xjxj∈Rn,yy∈Rn,yi∈{0,1},i=1,2,...,n,j=1,2,...,m則邏輯斯蒂迴歸輸出y^=11+e−(wwT

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