初中裡我們學過這樣一個東西， (a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2 ，它叫完全平方公式,這其實是一個很普通的多項式乘法，但我們可以以它為起點，發現許多有趣的數學事實。

我們知道實數的平方大於等於0，也就是說 a2−2ab+b2=(a−b)2⩾0a2−2ab+b2=(a−b)2⩾0 我們把 2ab2ab 移到右邊，得到 a2+b2⩾2aba2+b2⩾2ab ，如果我們把 a2a2 b2b2 分別用AB代換，我們可以得到如下這個簡潔的式子

A+B⩾2AB−−−√A+B⩾2AB

也就是說，A+B和AB是存在聯絡的，如果A，B是是正數並且他們的和確定，那麼他們的積有一個最大指，反過來，如果他們的積確定了，那麼他們的和有一個最小值，並且取最值時，這兩個數相等。通過這個不等式,我們將加法和乘法聯絡在了一起。同時，如果兩邊除2，那麼我們得到

A+B2⩾AB−−−√A+B2⩾AB

這個式子說明算數平均數是大於等於幾何平均數的，並在兩個數相等時相等

如果我們再次構造 (a+b)2(a+b)2 呢？在兩邊加上 a2+b2a2+b2 那麼我們得到 2a2+2b2⩾(a+b)22a2+2b2⩾(a+b)2 ,這似乎看不出有什麼神奇的結論蘊含在其中。我們再將它開方，整理得到

a2+b22−−−−−−√⩾a+b2a2+b22⩾a+b2

左邊是平方平均根，右邊是算數平方根，看來，任意兩個正實數的平方平均數都大於等於它們的算數平均數，什麼時候取等號呢，也是在這兩個數相等時
那麼既然出現了這麼多均值，那麼調和平均數 2

1a+1b21a+1b 在其中處於什麼樣的地位呢？

因為 1a+1b=a+bab1a+1b=a+bab ，我們利用 a+b⩾2ab