簡介

   多維縮放（Mutiple Dimensional Scaling）是一種經典的降維方法，可以緩解在高維情形下出現的資料樣本稀疏和距離計算困難等問題，即“維數災難”.

演算法原理及推導

    假定m 個樣本在原始空間的距離矩陣為 D∈Rm×m，其第i 行和第j 列的元素distij 為樣本xi 和 xj 的距離。我們的目標是獲得樣本在d′ 維空間的表示Z∈Rd′×m ， d′≤d ，且任意兩個樣本在d′ 維空間中的歐式距離等於原始空間中的距離，即||zi−zj||=distij.
    令B=ZTZ∈Rm×m ，其中B 為降維後樣本的內積矩陣，bij=zTizj ，則有

dist2ij=||zi−zj||2=||zi||2+||zj||2+2zTizj=bii+bjj−2bij,
則
bij=12(bii+bjj−dist2ij).
下面要用distij 來表示bij .
    為方便計算，首先對資料進行中心化，即令∑mi=1zi=0 ，即
∑i=1mzik=0(k=1,...,d).
則
∑i=1mbij=∑i=1mzTizj=∑i=1m∑k=1d′zikzjk=∑k=1d′(∑i=1mzik)z

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