前言

    不知道從哪天開始，看到矩陣就頭疼，特別是矩陣的運算更是蛋疼，都不好意思說自己是數學專業的，哈哈。這兩天在搞opencv影象處理，又涉及到這一塊，無語之，乾脆收集整理下，以饗同痛苦者。

一、逆矩陣的概念

利用矩陣的乘法和矩陣相等的含義，可以把線性方程組寫成矩陣形式。對於線性方程組

令A＝   X＝   B＝

則方程組可寫成AX=B.

方程AX=B是線性方程組的矩陣表達形式，稱為矩陣方程。其中A稱為方程組的係數矩陣，X稱為未知矩陣，B稱為常數項矩陣。

這樣，解線性方程組的問題就變成求矩陣方程中未知矩陣X的問題。類似於一元一次方程ax=b（a≠0）的解可以寫成x=a^-1b，矩陣方程AX

定義11  對於n階方陣A，如果存在n階方陣C，使得AC=CA=E（E為n階單位矩陣），則把方陣C稱為A的逆矩陣（簡稱逆陣）記作A^-1，即C=A^-1。

例如     

因為  AC==

CA==

所以C是的A逆矩陣，即C=A^-1。

由定義可知，AC=CA=E，C是A的逆矩陣，也可以稱A是C的逆矩陣，即A=C^-1。因此，A與C稱為互逆矩陣。

可以證明，逆矩陣有如下性質：

（1）若A是可逆的，則逆矩陣唯一。

（2）若A可逆，則(A^-1)^-1=A.

（3）若A、B為同階方陣且均可逆，則AB

（4）若A可逆，則detA≠0。反之，若detA≠0，則A是可逆的。

證  （1）如果B、C都是A的逆矩陣，則

C=CE=C(AB)=(CA)=EB=B

即逆矩陣唯一。

其它證明略。

二、逆矩陣的求法

1、用伴隨矩陣求逆矩陣

定義12  設矩陣

A=

所對應的行列式detA中元素aij的代數餘子式矩陣

稱為A的伴隨矩陣，記為A^*。

顯然，AA^＊=

仍是一個n階方陣，其中第i行第j列的元素為

由行列式按一行（列）展開式可知

=

所以       AA^＊==detAE    （1）

同理  AA^＊=detAE=A^＊A

定理3  n階方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，而且

A^-1=A^＊=

證  必要性：

如果A可逆，則A^-1存在使AA^-1=E，兩邊取行列式det(AA^-1)= detE,即detAdetA^-1=1,因而detA≠0,即A為非奇異矩陣。

充分性：

設A為非奇異矩陣，所以detA≠0，由（1）式可知A(A^＊)= (A^＊)A=E

所以A是可逆矩陣。

且A^-1=A^＊

例1  求矩陣A=的逆矩陣。

解  因為detA=,所以A是可逆的。又因為

所以A^-1=A^＊=

=

2、用初等變換求逆矩陣

用初等變換求一個可逆矩陣A的逆矩陣，其具體方法為：把方陣A和同階的單位矩陣E，寫成一個長方矩陣，對該矩陣的行實施初等變換，當虛線左邊的A變成單位矩陣E時，虛線右邊的E變成了A^-1即

從而可求A^-1。

例2  用初等變換求

的逆矩陣。

解  因為 =

所以 A^-1=

例3 解線性方程組

解  方程組可寫成

=

設A=  X=  B=  則AX=B

由例2知A可逆，且A^-1=

所以X=A^-1B，即=A^-1B==

於是，方程組的解是

習題 12--6

1、用伴隨矩陣求下列矩陣的逆矩陣：

（1）   （2）   （3）

2、用初等變換求逆矩陣：

（1）   （2）   （3）

（4）

3、解矩陣方程

（1）X

（2）

（3）

（4）

4、解線性方程組

（1）

（2）