記得以前在學序貫平差的時候就用過矩陣求逆引理，但是當時只是死記，當然早就忘了。在此作個筆記記錄一下引理的推導過程。 $\begin{aligned} (A+BCD)^{-1} &= A^{-1} + X \end{aligned}$

$\Downarrow \text{移項}$

$\begin{aligned} (A+BCD) (A^{-1} + X) &= E \end{aligned}$

$\Downarrow \text{展開}$

$\begin{aligned} E + AX + BCDA^{-1} + BCDX &= E \end{aligned}$

$\Downarrow \text{求解}$

$\begin{aligned} X &= -(A+BCD)^{-1}BCDA^{-1} \\ &= -[BC(C^{-1}B^{-1}A+D)]^{-1}BCDA^{-1} \\ &= -(C^{-1}B^{-1}A+D)^{-1} (BC)^{-1} BCDA^{-1} \\ &= -(C^{-1}B^{-1}A+D)^{-1} DA^{-1} \\ &= -[(C^{-1}+DA^{-1}B)B^{-1}A]^{-1} DA^{-1} \\ &= -A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1} \\ \end{aligned}$

$\Downarrow \text{代入}$

$\begin{aligned} (A+BCD)^{-1} &= A^{-1} - A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1} \end{aligned}$

  記住這種表示方式：$\begin{aligned} (A+BCD)^{-1} &= A^{-1} + X \end{aligned}$，這樣只需求解$X$便可推匯出結論。   提取相同矩陣時，為了便於理解也可以一個一個往外提取。   另外可以這樣記憶第二項：

$A^{-1}B$ ($C^{-1}$ $+DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1}$

$A^{-1}B$ $(C^{-1}+D$ $A^{-1}B$ $)^{-1} DA^{-1}$

$A^{-1}B (C^{-1} +$ $DA^{-1}$ $B)^{-1}$ $DA^{-1}$

  如果對類似的形式推導求逆引理，例如$(A-BC^{-1}D)^{-1}$，可以類比得到：

$(A-BC^{-1}D)^{-1} = A^{-1} + A^{-1}B(C-DA^{-1}B)^{-1} DA^{-1}$

  用同樣的方法也可求得：

$(A+BC^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}B(I+C^TA^{-1}B)^{-1} C^TA^{-1}$