前段時間參加了華為的2017軟體精英挑戰賽，用到了單純形演算法求解線性規劃問題，學習了正單純形，對偶單純形以及割平面法並用C語言實現了完整的simplex演算法。

單純形演算法是用來求解線性規劃問題的，其被用在了眾多SMT Solver中，如Yices, Z3等，都是基於的單純形演算法，其演算法效率在最壞情況下為指數級別，不過實現證明其效率在大多數情況下都是令人滿意的。

標準形式

max{b+∑1≤k≤nckxk}

∑1≤k≤nA1xk≤b1
…
∑1≤k≤nAmxk≤bm
x1,...,xn≥0

對於b1,...,bm≥0的情況，可使用正單純形演算法求解,對於存在bi<0的情況，則需要使用對偶單純形求解

。這裡求出來的解都是非整數解，若要得到目標式的整數最優解，在前面的基礎上還需要使用割平面法，即引入Gomory(高莫雷)約束。

一些特殊情況的處理

1.對於不滿足xi≥0的情況，可將xi化為兩個非負數的差值，即
xi=xj−xk, 其中xj,xk≥0
2.如果限制式子為等式，可將其化為一個大於等於和小於等於，如
a+b=c⇔(a+b≤c∧a+b≥c)
3.如果要求的目標式Z的最小值，則可轉化為先求−Z的最大值

正單純形演算法

首先將標準形式寫為如下形式(Slack Form)
Z=b+∑1≤k≤nckxk

y1=b1−∑1≤k≤nA1xk
…
ym=bm−∑1≤k≤

nAmxk

這裡引入了新的鬆弛變數y1,...,ym≥0,不難證明，新的形式跟原不等式等價。xk稱為basic variable(基變數)， ym稱為non-basic variable(非基變數)。因為b≥0,所以所有的非基變數為0為一組可行解，我們就是從這個初始可行解觸發，一步一步找到最優解。下面是具體的步驟：
1.查詢ck且ck>0,若不存在(目標式已經無法再繼續增大)，跳轉到第4步
2.找到minbiAi,即限制條件最強的一組式子
3.交換xk和yi, xk變為新的基變數，yi變為新的非基變數，將其他式子中的xk替換為新的值，然後回到第1步
4.將所有的非基變數取0值，即可算出所有的基變數的值以及目標式的最大值，演算法結束

單純形的物理意義

如上圖所示，為7個限制不等式所構成的凸多面體，每個限制條件可看成正凸多面體的一個面，凸多面體的內部(包括表面)即為可行解區域。可以證明，最優解如果存在，則一定在凸多面體的頂點上。對於三維空間來說(更高維空間可類似推廣)，某個頂點比為三個或以上的平面的交點，這個交點滿足對應相交平面的限制不等式。如點A，同時滿足式子②③⑦。
演算法中第3步中的交換因子(pivot)，可以看成是從凸多面體的一個頂點走向另一個頂點。

對偶單純形

在標準形式(Slack Form)中，如果bm<0，則不能直接用正單純形求解，需要使用對偶單純形，先將標準型化為正單純形的標準形式，即bm≥0，然後再使用正單純形進行求解。
對偶單純形的求解步驟如下：
1.引入新的鬆弛變數z≥0，得到如下新的標準型
Z=b+∑1≤k≤nckxk−z
y1=b1−∑1≤k≤n