搞懂間隔

  給定訓練樣本集D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)},yi∈{−1,+1}$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\},y_i\in \{-1,+1\}$，分類學習最基本的想法就是基於訓練集D$D$在樣本空間中找到一個劃分超平面，將類別分開。如下圖所示。

  但是能將樣本分開的超平面有很多，直觀上看，應該找兩類訓練樣本“正中間”的超平面，讓兩類“相離”最遠。

  超平面可通過如下線性方程來描述：

wTx+b=0,$$w^{T}x+b=0,$$
  其中w=(w1;w2;...;wd)$w=(w_1;w_2;...;w_d)$為超平面法向量，決定超平面的方向；b為位移項，決定超平面與原點之間的距離。

  超平面記為

(w,b)$(w,b)$，接下來說明所謂的“間隔”。

  如上圖，中間的實現表示的為超平面(w,b)$(w,b)$，假設超平面能正確分類，即對於(xi,yi)∈D$(x_i,y_i)\in D$，若yi=+1$y_i=+1$，則有wTx+b>0$w^{T}x+b>0$；若yi=−1$y_i=-1$，則有wTx+b<0$w^{T}x+b<0$。令 {wTx+b≥+1,wTx+b≤−1,yi=+1yi=−1$$\{\begin{array}{cc}{w}^{T}x+b\ge +1,& y_i=+1\\ w^{T}x+b\le -1,& y_i=-1\end{array}$$

  在上圖中，距離超平面最近的這幾個樣本點使得上式的等號成立，它們就被稱為支援向量。兩個異類支援向量到超平面之間的距離之和，就是我們要找的間隔。

  間隔有函式間隔和幾何間隔，先講函式間隔，設

f(x)=wTx+b$f(x)=w^{T}x+b$，在超平面w*x+b=0確定的情況下，|w∗x+b|$|w\ast x+b|$ 能夠表示點x到距離超平面的遠近，而通過觀察 w∗x+b$w\ast x+b$ 的符號與類標記y的符號是否一致可判斷分類是否正確，所以，可以用(y∗(w∗x+b))$(y\ast (w\ast x+b))$的正負性來判定或表示分類的正確性。於此，我們便引出了函式間隔（functional margin）的概念。

  定義函式間隔（用γˆ$\hat{\gamma }$表示）為：

γˆ=y(wTx+b)=yf(x)$$\hat{\gamma }=y(w^{T}x+b)=yf(x)$$

  γˆ$\hat{\gamma }$越大，代表可信度越高，但是函式間隔有問題，假如同時增大w，b到k倍$w，b到k倍$，超平面沒有變，但是間隔函式值卻改變了。

  事實上，我們可以對法向量w加些約束條件，從而引出真正定義點到超平面的距離–幾何間隔（geometrical margin）的概念，

  樣本空間中任意一點x$x$到超平面(w,b)$(w,b)$的距離用 γ$\gamma$ 表示，根據幾何知識，上圖中有

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