最小生成樹（prim和kruskal）
問題引入：
假設要在n個城市之間建立通訊網路，則連通n個城市至少需要n-1條線路。n個城市之間，最多可能設定n*（n-1）/2條線路。這時，自然會考慮一個問題：如何在這些可能的線路中選擇n-1條，使得在最節省費用的前提下建立該網路通訊？
解決方法：
1.prim演算法
演算法思想：
G=(V,E)是無向連通帶權圖，V=(1,2,3,…,n);設最小生成樹T=(U,TE),演算法結束時U=V,TE屬於E。構造最小生成樹T的prim演算法思想是：首先令U={u0},u0屬於V,TE=｛｝。然後，只要U是V的真子集，就做如下貪心選擇：選取滿足條件i屬於U,j屬於V-U,且邊（i,j）是連線U和V-U的所有邊中的最短邊，即該邊的權值最小。然後，將頂點j加入集合U，邊（i,j）加入結合TE。繼續上面的貪心選擇一直到U=V為止，此時選取到的所有的邊恰好構成G的一棵最小生成樹T。（看成是一個集合到另外一個集合，逐次從中選出一個路線）
演算法設計
- 將資料存放在陣列，如果兩個點不通，則設定為無窮大（0x33f3f3f）
- 初始化陣列lowcost[],假設從1號點（下標1，lowcost[0]=0）開始，將與1相連的邊存放到陣列lowcost[]中
- 尋找到與1相連的最小的邊，記錄其在lowcost陣列中的小標和權值，
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int lou[506][506],v,e,total;
const int inf=0x3f3f3f3f;
void prim()
{
int lowcost[506],flag,minn;//用於記錄每次加入一個點後連通其他點的最小權值， 2.kruskal演算法
演算法思想:
kruskal演算法將n個點看成是n個孤立的連通分支。它首將所有的邊按權從小到大排序。然後，只要T中的連通分支數目不為1，就做如下貪心選擇：在邊集E中選取權值最小的邊（i,j），如果將邊（i,j）加入集合TE中不產生迴路（環），則將邊（i,j）加入邊集TE中，即用邊（i,j）將這兩個連通分支合併連線成一個連通分支，否則繼續選擇下一條最短邊。在這兩種情況下，把邊（i,j）從集合中刪除。繼續上面的貪心選擇知道T中的所有頂點都在同一個連通分支上為止。此時，選取到的n-1條邊恰好構成G的一棵最下生成樹T。
演算法設計：
- 初始化，將圖G的邊集E中的所有邊按權從大到小排序，邊集TE={},把每個頂點都初始化為一個孤立的分支，即一個頂點對應的集合。
- 在E中尋找權值最小的邊（i,j）。
- 如果頂點i和j位於兩個不同的連通分支，則將邊（i,j）加入邊集TE,並執行合併操作將兩個連通分支進行合併。
- 將邊（i,j）從集合E中刪去，即E=E-{(i,j)}
- 如果連通分支數目不為1，轉步驟2；否則演算法結束，生成最小生成樹T。
程式碼：
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int fa[2000];
struct building
{
int a,b,cost;
}build[130000];
bool cmp(building x,building y)//讓點之間的距離按照花費從小到大排序
{
return x.cost<y.cost;
}
int main()
{
int t,v,e;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int wei[506],weight=0;
memset(build,0,sizeof(build));
memset(fa,0,sizeof(fa));
scanf("%d%d",&v,&e);
for(int i=0;i<e;i++)
{
scanf("%d%d%d",&build[i].a,&build[i].b,&build[i].cost);
}
sort(build,build+e,cmp);//用sort排序
// for(int j=0;j<e;j++)
// {
// printf("%d %d\n",build[j].a,build[j].cost);
// }
for(int i=0;i<v;i++)
{
scanf("%d",&wei[i]);
fa[i]=i;
}
sort(wei,wei+v);
for(int k=0;k<e;k++)
{
int x=fa[build[k].a-1];//此處也不是很明白
int y=fa[build[k].b-1];
if(x!=y)//當前最小邊，如果不為環，那麼加入該集合
{
weight+=build[k].cost;
//printf("====weight=%d\n",weight);
for(int i=0;i<v;i++)
{
if(fa[i]==y)//把可以相連的點併入一個集合，通過設定它們的fa[]值相同實現
{
fa[i]=x;
}
}
}
}
printf("%d\n",wei[0]+weight);
}
return 0;
}
如果G中的邊比較少，可以採用kruskal，如果邊數較多，則適用prim演算法。時間上，kruskal時間複雜度為O(eloge),prim演算法時間複雜度為O(n^2),prim適用於稠密圖，kruskal適用於稀疏圖。
另外kruskal演算法另外一種通過並查集的方式寫
並查集：
我們可以把每個連通分量看成一個集合，該集合包含了連通分量的所有點。而具體的連通方式無關緊要，好比集合中的元素沒有先後順序之分，只有“屬於”與“不屬於”的區別。圖的所有連通分量可以用若干個不相交集合來表示。
而並查集的精妙之處在於用數來表示集合。如果把x的父結點儲存在p[x]中(如果沒有父親，p[x]=x)，則不難寫出結點x所在樹的遞迴程式：
find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}
意思是，如果p[x]=x，說明x本身就是樹根，因此返回x；否則返回x的父親p[x]所在樹的根結點。
既然每棵樹表示的只是一個集合，因此樹的形態是無關緊要的，並不需要在“查詢”操作之後保持樹的形態不變，只要順便把遍歷過的結點都改成樹根的兒子，下次查詢就會快很多了
程式碼：
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int fa[2000];
struct building
{
int a,b,cost;
}build[130000];
bool cmp(building x,building y)
{
return x.cost<y.cost;
}
int find(int x)
{
//printf("-->%d\n",x);
if(x!=fa[x-1])fa[x-1]=find(fa[x-1]);//並查集
return fa[x-1];
}
int main()
{
int t,v,e;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int wei[506],weight=0;
memset(build,0,sizeof(build));
memset(fa,0,sizeof(fa));
scanf("%d%d",&v,&e);
for(int i=0;i<e;i++)
{
scanf("%d%d%d",&build[i].a,&build[i].b,&build[i].cost);
}
sort(build,build+e,cmp);
// for(int j=0;j<e;j++)
// {
// printf("%d %d\n",build[j].a,build[j].cost);
// }
for(int i=0;i<v;i++)
{
scanf("%d",&wei[i]);
fa[i]=i+1;
}
sort(wei,wei+v);
for(int k=0;k<e;k++)
{
int x=find(build[k].a);
int y=find(build[k].b);
//printf("%d %d\n",x,y);
if(x!=y)
{
weight+=build[k].cost;
fa[x-1]=y;
// printf("%d\n",weight);
}
}
printf("%d\n",wei[0]+weight);
}
return 0;
}