R中的多維陣列和矩陣
1.生成陣列或矩陣
陣列可以看成是帶多個下標的型別相同的元素的集合，常用的數值型的陣列如矩陣，也可以有其他型別（字元型、邏輯型、複數型）。R可以很容易地生成和處理陣列，特別是矩陣（二維陣列）。
陣列有一個特殊的屬性叫做維數向量，維數向量是一個元素取正整數值得向量，其長度是陣列的維數，比如維數向量有兩個元素時陣列為二維陣列（矩陣）。維數向量的每一個元素指定了該下標的上界，下標的下界總為1.
（（）將向量定義成陣列
向量只有定義了維數向量後才能被看作為陣列，比如：
> z<-1:12
> dim(z)<-c(3,4)
> z
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
注意：矩陣的元素時按列存放的。也可以吧向量定義為一維陣列，例如：
> dim(z)<-12
> z
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
（2）用array()函式構造多維陣列
array(data,dim,dimnames)
其中data是一個向量資料，dim()是陣列各維的長度，預設時為原向量的長度。dimnames是陣列維的名字，預設為空。如：
> x<-array(1:20,dim=c(4,5))
> x
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 5 9 13 17
[2,] 2 6 10 14 18
[3,] 3 7 11 15 19
[4,] 4 8 12 16 20
另一種方式：
> z<-array(0,dim=c(3,4,2))
> z
, , 1
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0
[3,] 0 0 0 0
, , 2
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0
[3,] 0 0 0 0
如此定義了一個3*4*2的三維陣列，元素均為0。這種方法常用來對陣列作初始化。
（3）用matrix()函式構造矩陣
matrix(data=NA,nrow=1,ncol=1,byrow=FALSE,dimnames=NULL)
其中data是一個向量資料，nrow是矩陣的行數，ncol為列數，nrow與ncol的乘積是矩陣元素個數，byrow項控制排列元素是否按行進行，當為T時按行放置，當為F時按列放置，dimnames給定行和列的名稱，預設時為空。如：
> A<-matrix(1:15,nrow=3,ncol=5,byrow=TRUE)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
[2,] 6 7 8 9 10
[3,] 11 12 13 14 15
以下兩種格式與前面的格式是等價的：
> A<-matrix(1:15,nrow=3,byrow=TRUE)
> A<-matrix(1:15, ncol=5,byrow=TRUE)
如果把語句中的byrow=TRUE去掉或者改為byrow=FALSE，則資料按列放置：
> A<-matrix(1:15,nrow=3,ncol=5)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 4 7 10 13
[2,] 2 5 8 11 14
[3,] 3 6 9 12 15
（4）用合併命令構造矩陣
用rbind()、cbind()將兩個或兩個以上的向量或矩陣合併起來，rbind()表示按行合併，cbind()表示按列合併。例：
> x<-c(1:5)
> y<-c(6:10)
> rbind(x,y)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
x 1 2 3 4 5
y 6 7 8 9 10
> cbind(x,y)
x y
[1,] 1 6
[2,] 2 7
[3,] 3 8
[4,] 4 9
[5,] 5 10
2.陣列下標
陣列和向量一樣，可以對陣列中的某些元素進行訪問，或進行運算。
（1）陣列下標
要訪問陣列的某個元素，只要寫出陣列名和方括號內的用逗號分開的下標即可。如：
> a<-1:24
> dim(a)<-c(2,3,4)
> a[2,1,2]
[1] 8
更進一步還可以在每一個下標位置寫一個下標向量，表示這一維取出的所有指定下標的元素，如：
> a[1,2:3,2:3]
[,1] [,2]
[1,] 9 15
[2,] 11 17
取出了第一下標為1，第二下標為2或3.第三下標為2或3的元素。
注意，因為第一維只有一個下標，所以退化成一個2*2的陣列。
另外，如果略寫某一維的下標，則表示該維全選，如：
> a[1,,]
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 7 13 19
[2,] 3 9 15 21
[3,] 5 11 17 23
取出所有第一下標為1的元素，得到一個3*4的陣列。
> a[,2,]
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 3 9 15 21
[2,] 4 10 16 22
取出所有第二下標為2的元素得到一個2*4的陣列。
> a[1,1,]
[1] 1 7 13 19
得到一個長度為4的向量，不再是陣列。
a[,,]或a[]都表示整個陣列，如：
> a[]<-0
可以在不改變陣列維數的條件下把元素都賦為0.
（2）不規則的陣列下標
在R中可以把陣列中的任意位置的元素作為陣列訪問，方法是用一個二維陣列作為陣列的下標，二維陣列的每一行是一個元素的下標，列數為陣列的維數。
> z<-1:24
> dim(z)<-c(2,3,4)
> b<-matrix(c(1,1,1,2,2,3,1,3,4,2,1,4),ncol=3,byrow=T);b
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 1 1
[2,] 2 2 3
[3,] 1 3 4
[4,] 2 1 4
> z[b]
[1] 1 16 23 20
表示把2*3*4的陣列z的第[1,1,1],[2,2,3],[1,3,4],[2,1,4]這四個元素取出。
注意：取出的是一個向量，我們還可以對這幾個元素賦值，如：
> z[b]<-c(101,102,103,104)
或
> z[b]<-0
3.陣列的四則運算
可以對陣列之間進行四則運算，這時進行的是陣列對應元素的四則運算，參加運算的陣列一般應該是相同形狀的（dim屬性完全相同）。如：
> A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A+B
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 8 14 20
[2,] 4 10 16 22
[3,] 6 12 18 24
> A-B
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0
[3,] 0 0 0 0
> C<-A*B;D=A/B;C;D
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 16 49 100
[2,] 4 25 64 121
[3,] 9 36 81 144
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 1 1
[2,] 1 1 1 1
[3,] 1 1 1 1
陣列的加、減運算和數乘運算滿足原矩陣運算的性質，但陣列的乘、除運算實際上是陣列中對應位置的元素作運算。
形狀不一致的向量（或陣列）中的資料進行四則運算，一般的規則是將向量（或陣列）中的資料與對應向量（或陣列）中的資料進行運算，把段向量（或陣列）的資料迴圈使用，從而可以與長向量（或陣列）資料進行匹配，並儘可能保留共同的陣列屬性。如：
> x1<-c(100,200)
> x2<-1:6
> x1+x2
[1] 101 202 103 204 105 206
> x1+x3
[,1] [,2]
[1,] 101 204
[2,] 202 105
[3,] 103 206
可以看到，當向量與陣列共同運算時，向量按列匹配。當兩個陣列不匹配時，R會提出警告。如：
> x2<-1:5
> x1+x2
[1] 101 202 103 204 105
警告資訊：
In x1 + x2 : 長的物件長度不是短的物件長度的整倍
4.矩陣的運算
（1）轉置
求矩陣A的轉置用函式t()。例如：
> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4);A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> t(A)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 4 5 6
[3,] 7 8 9
[4,] 10 11 12
（2）方陣的行列式
det()函式可求方陣行列式的值，例如：
> det(matrix(1:4,ncol=2))
[1] -2
（3）向量的內積
對於n維向量x，可以看成n*1階矩陣或1*n階矩陣。若x與y是相同維數的向量，則x%*%y表示x與y作內積，例如：
> x<-1:5;y<-2*1:5
> x%*%y
[,1]
[1,] 110
函式crossprod()是內積計算函式（表示交叉乘積），crossprod(x,y)加us那向量x與y的內積，即‘t(x)%*%y‘。crossprod(x)表示x與x的內積。
類似地，tcrossprod(x,y)表示‘x%*% t(y) ‘，即x與y的外積，也稱為叉積，tcrossprod(x)表示x與x的外積。
（4）向量的外積（叉積）
設x，y是n維向量，則x%*o%y表示x與y作外積。如：
> x%o%y
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 4 6 8 10
[2,] 4 8 12 16 20
[3,] 6 12 18 24 30
[4,] 8 16 24 32 40
[5,] 10 20 30 40 50
函式outer()是外積運算函式，outer(x,y)計算x與y的外積，等價於x%o%y。
函式outer()的一般格式為：outer(x,y,fun)
其中x，y矩陣（或向量），fun是作外積運算函式，預設值為乘法運算。函式outer()在繪製三維曲面時非常有用。
（5）矩陣的乘法
A%*%B表示通常意義下的兩個矩陣的乘積（當然要求矩陣A的列數等於矩陣B的行數），如：
> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> A%*%B
[,1] [,2] [,3]
[1,] 70 158 246
[2,] 80 184 288
[3,] 90 210 330
（6）生成對角陣和矩陣取對角運算
若取一個方陣的對角元素，用函式diag()。
對一個向量用函式diag()，將產生以這個向量為對角元素、其餘元素全為0的對角矩陣。
對一個正整數k應用函式diag()，將產生k維單位矩陣。
例：
> A=matrix(1:16,nrow=4,ncol=4)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16
> diag(A)
[1] 1 6 11 16
> diag(3)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1
（7）解線性方程組和求矩陣的逆矩陣
陣求逆用函式solve()。
用solve(A,b)運算，結果是可解線性方程組Ax=b的解x。若b為單位矩陣，則結果就是A的逆矩陣。solve()中，若b預設，系統預設為單位矩陣，則這個過程便為矩陣求逆。
例：
rnorm()為隨機生成正態
> A=matrix(rnorm(16),4,4);A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.67168810 0.77743512 -2.1351143 1.1196029
[2,] 0.70557911 -0.40344244 0.5866727 1.2809767
[3,] 0.57529587 -0.02789363 -1.0624213-1.2417952
[4,] 0.08381951 0.65116106 0.1662728 -0.9488299
> solve(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.02554831 0.89633961 0.5293070 0.5475198
[2,] 0.34677139 -0.02034261 -0.5381588 1.0860438
[3,] -0.22913613 0.34001906 -0.2186800 0.4748699
[4,] 0.20008471 0.12480673 -0.3608891-0.1770177
（8）矩陣的特徵值和特徵向量
矩陣A的譜分析為A=UDU’，其中D為由A的特徵值組成的對角矩陣，U的列為A的特徵值對應的特徵向量，在R中可用函式eigen()得到U和D。
eigen(x,symmetric,only.value=FALSE)
x為矩陣，symmetric項指定矩陣x是否為對稱矩陣，若不指定，系統將自動檢測x是否為對稱矩陣。only.value項如果是TRUE，只有特徵值計算並返回，否則返回的特徵值和特徵向量。
例：
> A=diag(4)+1
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> A.e=eigen(A,symmetric=T)
> A.e
$values
[1] 5 1 1 1
$vectors
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.5 0.000000e+00 0.0000000 0.8660254
[2,] -0.5 -6.408849e-17 0.8164966 -0.2886751
[3,] -0.5 -7.071068e-01 -0.4082483-0.2886751
[4,] -0.5 7.071068e-01 -0.4082483 -0.2886751
>A.e$vectors%*%diag(A.e$values)%*%t(A.e$vectors)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
（9）矩陣的Choleskey分解
對於正定矩陣A，可對其進行Choleskey分解，即A=P’P，其中，P為是上三角矩陣，在R中可用函式chol()來進行Choleskey分解。
正定矩陣是指
例：
> A.c=chol(A)
> A.c
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068 0.7071068
[2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483 0.4082483
[3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005 0.2886751
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 1.1180340
> t(A.c)%*%A.c
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
（10）矩陣奇異值分解
A為m*n矩陣，A的秩為n，即rank(A)=n，可分解為A=UDV’，其中U’U=V’V=I。在R中可以用函式svd()進行奇異值分解。
例：
> A=matrix(1:18,3,6)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 4 7 10 13 16
[2,] 2 5 8 11 14 17
[3,] 3 6 9 12 15 18
> A.s=svd(A)
> A.s
$d
[1] 4.589453e+01 1.640705e+00 3.627301e-16
$u
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.5290354 0.74394551 0.4082483
[2,] -0.5760715 0.03840487 -0.8164966
[3,] -0.6231077 -0.66713577 0.4082483
$v
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.07736219 -0.71960032 -0.18918124
[2,] -0.19033085 -0.50893247 0.42405898
[3,] -0.30329950 -0.29826463 -0.45330031
[4,] -0.41626816 -0.08759679 -0.01637004
[5,] -0.52923682 0.12307105 0.64231130
[6,] -0.64220548 0.33373889 -0.40751869
> A.s$u%*%diag(A.s$d)%*%t(A.s$v)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 4 7 10 13 16
[2,] 2 5 8 11 14 17
[3,] 3 6 9 12 15 18
5.與矩陣（陣列）運算有關的函式
（1）取矩陣的維數
函式dim()返回一個矩陣的維數，nrow()返回行數，ncol()返回列數。例：
> A=matrix(1:12,3,4)
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12
> dim(A)
[1] 3 4
> nrow(A)
[1] 3
> ncol(A)
[1] 4
（2）矩陣的拉直
as.vector()函式可將矩陣轉化為向量，如：
> A<-matrix(1:6,nrow=2);A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 5
[2,] 2 4 6
> as.vector(A)
[1] 1 2 3 4 5 6
（3）陣列的維名字
陣列可以有一個屬性dimnames儲存各維的各個下標的名字，預設為NULL。如：
>x<-matrix(1:6,ncol=2,dimnames=list(c("A","B","C"),c("a","b")),byrow=T);x
a b
A 1 2
B 3 4
C 5 6
也可以先定義矩陣x，然後再為dimnames(x)賦值。如：
> x<-matrix(1:6,ncol=2,byrow=T)
>dimnames(x)<-list(c("A","B","C"),c("a","b"))
對於矩陣，還可以使用屬性rownames和colnames來訪問行名和列名，例如：
> x<-matrix(1:6,ncol=2,byrow=T)
>colnames(x)<-c("a","b")
>rownames(x)<-c("A","B","C")
（4）apply()函式
對於向量，可以用sum、mean等函式對其進行計算，對於陣列（矩陣），如果想對其一維（或若干維）進行某種計算，可用apply()函式，其一般形式為
apply(A,margin,fun)
其中A是一個數組（矩陣），margin是固定哪些維不變，fun是用來計算的函式，如：
> A<-matrix(1:6,nrow=2);A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 5
[2,] 2 4 6
> apply(A,1,sum)
[1] 9 12
> apply(A,2,mean)
[1] 1.5 3.5 5.5
參考：《統計建模與R軟體》 薛毅 陳立萍 編著 清華大學出版社