裴蜀定理

阿新 • • 發佈：2019-01-11

$\forall a,b\inz,d=gcd\left(a,b \right )$

關於x,y的線性不定方程：（裴蜀等式） $ax+by=c$ 有整數解 $\left(x,y \right )\Leftrightarrow d\mid c$ 有解時有無窮解

通解為 $\left(m_{0}x_{0}+\frac{kb}{d},m_{0}y_{0}-\frac{ka}{d} \right )\left( k\in z \right )$

或者 $\left(\frac{c}{d}x_{0}+\frac{kb}{d},\frac{c}{d}y_{0}-\frac{ka}{d} \right )\left( k\in z \right )$

其中 $ax+by=c,\left(x0,y0 \right )$ 為 $ax_{0}+by_{0}=d=gcd\left(a,b \right)$ 的特解， $m_{0}=\frac{c}{d}$

接下來給出證明

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先證明 $ax+by=gcd\left(a,b \right )$ 有解

證明：

$\because d=gcd\left(a,b \right )$

$\therefore d\mid a,d\mid b$

$d\mid \left(ax+by \right )$

設s是a,b的線性組合中最小的正元素,則 $\exists x,y\in z$ ,使 $s=ax+by \in z$

設 $q=\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor$

$r=a\%s=a-qs=a-q\left(ax+by \right )=\left(r-qx\right)a-by$

∴r也是a,b的線性組合

又 $\because r=a\%s$

$\therefore 0\leq r < s$ (因為取餘的結果必然小於模的數)

又∵s是s是a,b的線性組合中最小的正元素

$\therefore$ r比線性組合中最小正元素的還小， $r=0$

$\therefore s\mid a$

同理可證 $s\mid b$

$\therefore$ s是a,b的公約數

又 $\because$ d是a,b的最大公約數

$\therefore d\geq s$

$\because d\mid\left ( ax+by \right ),s=ax+by$

$\therefore d\mid s$

$\therefore s\geq d$

又 $\because d\geq s$

$\therefore s=d=gcd\left ( a,b \right )$

$ax+by=s$

$ax+by=gcd\left ( a,b \right )$ 有解

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接著證明 $gcd\left ( a,b \right )\mid c \Leftrightarrow ax+by=c$ 有整數解

證明:充分性 $d=gcd\left ( a,b \right )$

設 $ax+by=gcd\left ( a,b \right )$ 解為 $\left ( x_{0},y_{0} \right )$

$\because d\mid c$

$\therefore \exists k\in z,$ 使得 $c=kd$

$\because ax_{0}+by_{0}=d$

$kax_{0}+kby_{0}=kd=c$

$\therefore ax+by=c$ 的解為 $\left(kx_{0},ky_{0} \right )$

必要性: $ax_{1}+by_{1}=c$

設 $d=gcd\left(a,b \right )$

$\therefore d\mid a,d\mid b$

$\therefore d\mid \left ( ax_{1}+by_{1} \right )$

$\therefore d\mid c$

$\therefore gcd(a,b)\mid c$

$\therefore gcd\left(a,b \right )\mid c\Leftrightarrow ax+by=c$ 有整數解

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最後證明有無窮解以及通解形式

證明:設 $ax_{0}+by_{0}=d,c=m_{0}d$

$am_{0}x_{0}+bm_{0}y_{0}=m_{0}d=c$

$a\left ( m_{0}x_{0}+\frac{kd}{b} \right )+b\left ( m_{0}y_{0}-\frac{ka}{b} \right )\left ( k\in z \right )\\ =am_{0}x_{0}+a\frac{kb}{d}+bm_{0}y_{0}-b\frac{ka}{d}\\ =am_{0}x_{0}+bm_{0}y_{0}\\ =c$

即 $ax+by=c$ 的通解為

$\left ( m_{0}x_{0}+\frac{kb}{d},m_{0}y_{0}-\frac{ka}{d} \right )\left ( k\in z \right )$

或者 $\left ( \frac{c}{d}x_{0}+\frac{kb}{d},\frac{c}{d}y_{0}-\frac{ka}{d} \right )\left ( k\in z \right )$ 也就是證明了無窮解

其中 $ax+by=c,\left ( x_{0},y_{0} \right )$ 為 $ax_{0}+by_{0}=d=gcd\left ( a,b \right )$ 的特解， $m_{0}=\frac{c}{d}$

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