部落格目錄

一、原題

原題傳送門（vjudge）

原題傳送門（杭電原題）

Let’s talking about something of eating a pocky. Here is a Decorer Pocky, with colorful decorative stripes in the coating, of length L. 
While the length of remaining pocky is longer than d, we perform the following procedure. We break the pocky at any point on it in an equal possibility and this will divide the remaining pocky into two parts. Take the left part and eat it. When it is not longer than d, we do not repeat this procedure. 
Now we want to know the expected number of times we should repeat the procedure above. Round it to 6 decimal places behind the decimal point. 

InputThe first line of input contains an integer N which is the number of test cases. Each of the N lines contains two float-numbers L and d respectively with at most 5 decimal places behind the decimal point where 1 ≤ d, L ≤ 150. 
OutputFor each test case, output the expected number of times rounded to 6 decimal places behind the decimal point in a line.Sample Input

6
1.0 1.0
2.0 1.0
4.0 1.0
8.0 1.0
16.0 1.0
7.00 3.00

Sample Output

0.000000
1.693147
2.386294
3.079442
3.772589
1.847298

二、題目大意

一根麵條橫著放，等概率地從中選取一個點，吃掉左邊部分，然後再選再吃。直到剩下的部分小於等於b就停止，問吃的次數的期望。

三、分析

實戰的方法：  重現賽時根據樣例猜公式，一看小數位數跟lnx有關，湊一湊公式就出來了。

正兒八經的做法：  事後查資料推公式：

    網上為數不多的題解都是猜出來的公式，複習了一下概率論自己推導了好久都沒弄出來，直到看到這個 傳送門 大神的部落格，然後現自己總結一下：

    根據概率論的知識：期望=∑(子事件發生的概率*子事件貢獻的期望) 。而對於連續模型來講，求和就是積分。

設長度為x的麵條，所期望的次數為f(x)，畫個t軸：0———b————————x   ----->t的麵條（湊合看吧,其中t為座標）

當x<=b（我也忘了有沒有等號了，自己去讀題吧這裡對公式沒影響）。f(x)=0（長度小於等於n時一次也不用吃就停下了）

當x>b時，設t為0~x上的座標值，表示吃掉t~x上的麵條，自然剩下的麵條就是0~t，即吃掉剩下的麵條次數期望為f(t)

然後高等數學上的知識：對於dt表示很小的線元，點落到dt上的概率為dt/x，也就是線元長度/總長度。dt上貢獻的期望為（因為dt很小可以看成一個點，高等數學的知識）：從0到dt的長度為t，所以吃掉右邊的剩下左邊的長度為t，所以期望為f(t)。

然後將b~a上所有的線元dt貢獻的期望加起來（即積分）：∫(b到x) f(t)*(dt/x),x與積分無關可以提出來寫到積分號外面。

所以總的e=f(x)為：     （其中0到d上貢獻的期望為0）.

接下來就是求解f（x）了，

• 比較淺顯的：思路一：

兩邊乘一個x，然後方程兩邊對x求導，積分號正好是一個原函式形式，一求導就把積分號去掉了，就變成了一個一階微分方程，然後解方程。（早就忘了微分方程咋解了，要記得考慮+常數c）

• 比較巧妙的：思路二：

等式兩邊直接求導，方程左邊暫時變為導數，著重處理右邊：

常數求導變為0，分數用求導公式，求導後分子上依然有積分符號（請大家自行筆算一下，就不花心思貼圖了），積分符號還存在，我們利用原始的式子處理積分符號：將這個式子解出來積分符號，然後代入上求導後的式子，消掉積分符號之後，發現也正好可以消掉等式右邊的跟f（x）有關的部分，最終得出f '（x）= 

然後根據不定積分：f(x)=lnx+c

找個特解（本題跟b跟n都有關的特例，很顯然就是n=b的情況） f(d) = ln(d) + C = 1，c=1-ln(d)，然後就把c求出來了。

最終：

解畢。

四、AC程式碼

照著公式一寫就過了，記得考慮n<=d的情況和保留的小數位數，不想去翻之前的程式碼了。

當n>b時

ln(n)-ln(b)

當n<=b時

0.000000