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1 介紹

排列（Permutation）和組合（Combination）是兩個基礎的數學概念。

計算排列與組合可以解決一些實際的工程問題，掌握排列組合計算的方法是十分重要的。

目前，網上已經有一些計算排列組合的演算法，比如[1]。

這裡我也給出一個組合計算方法。該計算方法採用了分治的思想，程式碼實現採用了遞迴的方式。

2 組合演算法

2.1 設計思路

組合問題：在序列An={1,2,3,4,5,6,...,n}中選擇m個數一共有C(n,m)種組合，求解所有的組合。

例如，C(3,2)=3. 所有的組合分別是{1,2},{1,3},{2,3}。

思路：

我的演算法採用了分治的思想：將一個大的問題拆分成很多個子問題，先解決子問題，所有子問題的解共同組成了大問題的解。

接下來我以求組合C(5,3)為例進行說明：

假設C(5,3)的所有組合形成的集合是E。我們可以將組合結果E分成兩類：A類是含有5的組合，B類是不含5的組合；

同理，我們可以將B類分成B1和B2兩類：B1類是含有4的組合（且不含5的組合），B2類是不含4的組合（且不含5的組合）；

同理，我們可以將B2類分成B21和B22兩類：B21類是含有3的組合（且不含5、4的組合），B22類是不含3的組合（且不含5、4的組合）。注意，此時B22類是不成立的（應為不含3、4、5，只剩下1、2兩個元素。而例子要求解C(5,3)至少需要3個元素）。

以上分類方法可以保證E=B21 U B1 U A

其中，

對於A類組合，我們只需要求解子問題C(4,2)，之後再在子問題的結果中加入5即可得到A類組合；

對於B1類組合，我們只需要求解子問題C(3,2)，之後再在子問題的結果中加入4即可得到B1類組合；

對於B21類組合，我們只需要求解子問題C(2,2)，之後再在子問題的結果中加入3即可得到B21類組合；

A類組合、B1類組合、B21類組合組成了C(5,3)的所有組合。

可以發現，問題C(5,3)已經降維成三個子問題：C(4,2)，C(3,2) 和C(2,2)。利用遞迴的方法即可實現最終結果的求解。

2.2 演算法複雜度

2.2.1 時間複雜度

所有的組合演算法的時間複雜度都至少是C(n,m)=n!/[m!*(n-m!)]。本演算法的時間複雜度也是階乘量級的。

2.2.2 空間複雜度

由於採用了遞迴的實現方式，本演算法的空間複雜度很高，很有可能造成記憶體溢位。建議採用非遞迴的方法實現組合計算。

2.3 原始碼

下面是原始碼：

/*****************************************************************************************************************************
        時間複雜度：
        空間複雜度：
        功能：求排列組合Cij
        輸入引數：
                int i                :        總數
                int j                :          組合數
                vector<int>r:        用於儲存臨時結果的向量，大小必須等於num 
                int num                :        組合數
                vector<vector<int> > & result        :        用於儲存最終所有結果的二維向量 
        返回引數：
                void
        注意：　
                首先建立兩個向量作為函式的輸入引數                
                vector<int> r(num);                                //num為組合數 
                vector<vector<int> > result;        //儲存最終結果 
        使用樣例：
                vector<int> resulttemp(3);
                vector<vector<int> > result;
                Cij(6,3,resulttemp,3,result); 
*****************************************************************************************************************************/


void Cij(int i, int j,vector<int> &r,int num,vector<vector<int> > & result)
{
        //排列組合公式Cij
        //cout << n << ' ' << i << ' ' << j << endl;
        if (j == 1)
        {
                for (int k = 0; k < i; k++)
                {
                        vector<int> temp(num);
                        r[num - 1] = k;
                        for (int i = 0; i < num;i++)
                        {
                                temp[i]=r[i];
                                //cout << r[i] << ' ';
                        }
                        result.push_back(temp);
                        //cout << endl;
                }
        }
        else if (j == 0)
        {
                //do nothing!
        }
        else
        {
                for (int k = i; k >= j; k--)
                {
                        r[j-2] = k-1;
                        Cij(k - 1, j - 1,r,num,result);
                }
        }
}

2.4 測試結果

3 排列演算法

4 參考