題目描述：

問題：0-1揹包問題

描述：有一個揹包，它的容量為C（Capacity），現在有n種不同的物品編號分別為0...n-1，其中每一件物品的重量為w(i)，價值為v(i)。問可以向這個揹包中盛放哪些物品，使得在不超過揹包容量的基礎上，物品的總價值最大。

解題思路：

（1）暴力解法：

每一件物品都可以放進揹包，也可以不放進揹包，有種情況。我們再從這種情形中選出總價值最大的物品，時間複雜度為O()。

（2）貪心演算法解法：

貪心演算法：用物品的價值除以重量得到單位物品的價值。貪心演算法就是優先放入平均價值最高的物品。

第0件物品的單位價值為6，第1件物品的單位價值為5，第2件物品的單位價值為4。我們首先放單位價值最高的物品0號，它的重量是1。接著放入單位價值次大的物品1號，它的重量是2,。揹包中還能容下2個重量，由於編號為2的物品重量是3，所以不能放入到揹包中。所以貪心演算法得到的揹包中最多能容納16價值的物品。

很明顯，對於這個問題，我們只放入編號為1和2的物品，總價值是最大的。與貪心演算法恰恰相反的是，我們剛好放棄了單位價值最大的編號為0的商品。所以這個例子證明，貪心演算法是無法解決這樣的問題。

（3）動態規劃解法：

動態規劃解題思路：

1. 狀態轉移方程：

之前接觸到的動態規劃題目涉及到的狀態都可以用一個變數（或者引數）解決問題。通常問題中含有的引數，決定了問題需要滿足的約束條件。對於當前的揹包問題，也是求一個最優解的問題。對於這個問題，我們兩個約束條件，第一個約束條件是在n個物體裡選擇，第二個約束條件是選定的容量要小於等於給定的C值。求解價值最大的函式設為F(n, C)，F函式傳入兩個引數n和C。F（n，C）函式的定義是：考慮將n個物品放進容器為C的揹包，使得價值最大。

我們知道問題的狀態轉移方程之後，可以使用自頂向下的方式（遞迴法）解決這個問題；也可以對遞迴法進行優化使用記憶化搜尋的方式解決這個問題；最後我們寫出自底向上的動態規劃解法。

1）遞迴方法實現

class Solution:

    def knapsack01(self, w, v, C):
        return self.bestValue(w, v, len(w)-1, C)

    def bestValue(self, w, v, index, C):

        if index < 0 or C <= 0:
            return 0

        res = self.bestValue(w, v, index - 1, C)

        if C >= w[index]:
            res = max(res, v[index] + self.bestValue(w, v, index - 1, C - w[index]))

        return  res

solution = Solution()
w = [1, 2, 3]
v = [6, 10, 12]
print(solution.knapsack01(w, v, 5))
 

2）記憶化搜尋方法實現

待補充。

3）動態規劃方法實現

待補充。