計算幾何問題彙總--點與線的位置關係

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點與點之間，線與線之間，點與線之間的位置關係是一類非常重要的問題。它不僅是平面幾何學的基石，也常常應用於LBS(Location Based Service)，社交網路，以及資料庫查詢等領域。

本文中，我將給出判斷這些關係的相關演算法，作為參考。需要說明的是，我給出的這些問題的解法，都是建立在二維平面空間之上。有關多維空間的位置關係，大家可以仿照二維空間中問題的思路，做相應的拓展。

語言上，我用的當然還是Python.

點與點之間的距離

先從最簡單的點與點的位置關係說起。一般情況下，我們只關心點與點之間的距離。

1. 點類的定義

為使演算法思路更加清晰，先定義點類 Point，既然是在二維空間上，那麼每個點都應該有兩個屬性：x, y分別代表點的橫縱座標。

class Point(object):
    """Point are two-dimension"""

    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y
  
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接下來就看看如何計算兩點之間距離：當然可以用初中學的歐氏距離最基本的計算方法。但是考慮到程式碼編寫的效率，以及方便以後向高維空間拓展。我在本文中將盡量使用向量計算。

而為了簡化程式碼，我們使用對於向量運算已經相當成熟的庫numpy

2. 兩點之間距離的計算

顯然，兩點可以構成向量，而向量的長度則是其內積的開方。空間中，點 A 與點 B 的距離可以用向量 AB−→ 的模 |AB−→| 表示。所以，現在需要做的，就是寫一個函式，以兩點為引數，計算由這兩點構成的向量的模。

為了和本文之後的問題保持編碼風格上一致，同時簡化程式碼編寫。我使用對向量運算已經極為成熟的庫numpy幫助計算。並且定義了一個新的類 Vector

，類 Vector 以向量的起點和終點作為輸入，生成一個只擁有屬性x和y的向量物件。

最後，和前面定義的類放在一起，程式碼如下：

import numpy as np
# numpy help us do some vector calculation


class Point(object):
    """Point are two-dimension"""

    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

class Vector(object):
    """start and end are two points"""

    def __init__(self, start, end):
        self.x = end.x - start.x
        self.y = end.y - start.y

def pointDistance(p1, p2):
    """calculate the distance between point p1 and p2"""

    # v: a Vector object
    v = Vector(p1, p2)

    # translate v to a ndarray object
    t = np.array([v.x, v.y])

    # calculate the inner product of ndarray t
    return float(np.sqrt(t @ t))
  
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說明一下，在Python3.5以後的版本中，使用numpy庫時，ndarray物件之間的乘法可以用 @ ，代替之前的 v1.dot(v2) 這樣的形式。

點與線之間的位置關係

1. 線的分類

點與線之間的位置關係就要稍微複雜一些了，複雜之處在於線分線段和直線兩種情況。但是，在定義類的時候我都用兩點來代表線段（直線）的兩個屬性。於是，至少程式碼看上去是沒什麼分別的。

不同之處在於，線段的兩個點事兩個端點，而直線的兩個點是直線上任意兩點。

class Segment(object):
    """the 2 points p1 and p2 are unordered"""

    def __init__(self, p1, p2):
        self.p1 = p1
        self.p2 = p2


class Line(object):
    """p1 and p2 are 2 points in straight line"""

    def __init__(self, p1, p2):
        self.p1 = p1
        self.p2 = p2
  
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需要注意的是，這裡並沒有說線段的兩個點是什麼順序（不一定說左邊的點就是p1，右邊就是p2）

2. 點與線的位置關係

(1) 計算點到直線的距離

如Fig.1(a)所示，現要求點 C 到直到直線 AB 的距離。還是向量法，據向量知識可知：

cos∠CAB=AC−→⋅AB−→|AC−→|⋅|AB−→|

再由三角形知識可知，線段 AD 的長度為：

|AC−→|⋅cos∠CAB

所以， AD−→− 可以這樣計算：

AD−→−=AB−→|AB−→|⋅|AD−→−|=AB−→

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