定義

二叉查詢樹是一種特殊的二叉樹,它不僅是一顆二叉樹,還滿足如下性質

對於任何非葉子節點,他的左節點都小於它本身,而右節點都大於其本身.
它的左右子樹也分別而二叉搜尋樹

一般情況下,在這麼一棵樹中進行查詢,它的時間複雜度是 longn$longn$
但是在最壞情況下,一棵樹會退化成單鏈表,那麼此時的查詢時間複雜度就是 n$n$

實現

標頭檔案

#pragma once
#include<stdio.h>
typedef char SearchTreeType;
typedef struct SearchTreeNode
{
  SearchTreeType key;
  struct
 
 SearchTreeNode* lchild;
  struct SearchTreeNode* rchild;
}SearchTreeNode;
void SearchTreeInit(SearchTreeNode** root,SearchTreeType key);
void SearchTreeInsert(SearchTreeNode** root, SearchTreeType key);
SearchTreeNode* SearchTreeFind(SearchTreeNode** root, SearchTreeType to_find);
SearchTreeNode* _SearchTreeRemove(SearchTreeNode* root, SearchTreeType to_delete);
 

插入的實現

插入肯定會插入在葉子節點,
我們比較將要插入的節點和當前節點的大小關係,
如果大於當前節點,就需要在它的右子樹尋找合適的節點插入
如果小於當前節點,就要在它的左子樹尋找何時的節點插入

void SearchTreeInsert(SearchTreeNode** root, SearchTreeType key)
{
  if(root == NULL)
    return;
  if(*root == NULL)
  {
    SearchTreeInit(root,key);
  }
  //遞迴插入
  _SearchTreeInsert_R(*root,key);
}
 

SearchTreeNode* _SearchTreeInsert_R(SearchTreeNode* root, SearchTreeType key)
{
  if(root == NULL)
  {
    root = (SearchTreeNode*)malloc(sizeof(SearchTreeNode));
    root->key = key;
    root->rchild = NULL;
    root->rchild = NULL;
  }
  if(key > root->key)
  {
    root->rchild = _SearchTreeInsert_R(root->rchild,key);
  }
  else if(key < root->key)
  {
    root->lchild = _SearchTreeInsert_R(root->lchild,key);
  }
  else if( key == root->key )
  {
    return root;
  }
  return root;
}

查詢的實現

依然是一個比較的過程,查詢節點比當前節點大,就在當前節點的右子樹中繼續查詢
查詢節點比當前節點小,就在其左子樹進行查詢
如果遇到了NULL,就表示查詢失敗.
程式碼很簡單就不一一列舉了.

刪除的實現

刪除就比較複雜了,因為在刪除後還要保證這棵樹是一個二叉查詢樹.
這裡要分情況討論

刪除的是葉子節點

例如我們要刪除的是3 ,那麼我們就應該找到3的父節點5,將5的左子樹置空即可

刪除的節點的左子樹為空

例如我們要刪除的是3 ,那麼我們就應該找到3的父節點5,將5的左子樹指向 3的右子樹,然後釋放該節點

刪除的節點右子樹為空

同上一種情況,將找到3的父節點5,將5的左子樹指向 3的左子樹,然後釋放該節點

刪除節點左右子樹都非空

這裡我們有兩種可能的方案
1. 在3的左子樹中找到最大的節點(2.5) 將2.5和3調換位置,然後將置換後的3刪除

2. 在3的右子樹中找到最小節點(3.5),將2.5和3調換位置,然後將置換後的3刪除

我們只要按這4種情況不重不漏的分析下去,程式碼就很好寫了

SearchTreeNode* _SearchTreeRemove(SearchTreeNode* root, SearchTreeType to_delete)
{
  if(root == NULL)
    return NULL;
  if(root->key > to_delete)
  {
    root->lchild = _SearchTreeRemove(root->lchild,to_delete);  
  }
  if(root->key < to_delete)
  {
    root->rchild = _SearchTreeRemove(root->rchild,to_delete);
  }
  if(root->key == to_delete)
  {
    // root 是葉子節點
    if(root->lchild == NULL && root->rchild == NULL)
    {
      free(root);
      root = NULL;
      return NULL;
    }
    // root 非葉子節點 而且左子樹為空,和右子樹中最小元素交換,後刪除找到的節點
    else if(root->lchild == NULL && root->rchild != NULL)
    {
      SearchTreeNode* to_return = root->rchild;
      free(root);
      root = NULL;
      return to_return;
    }
    // root 非葉子節點,右子樹為空,和左子樹中最大元素交換,後刪除找到的節
    else if(root->rchild == NULL && root->lchild != NULL)
    {
      SearchTreeNode* to_return = root->lchild;
      free(root);
      root = NULL;
      return to_return;
    }
    // root 非葉子節點, 左子樹中最大值和右子樹中最大值 二選一交換 後刪除找到的節
    else if(root->lchild != NULL && root->rchild != NULL)
    {
      //採用賦值法
      //在左子樹取最大值
      SearchTreeNode* max = root->lchild;
      SearchTreeNode* max_parent = root->lchild; 
      while(max->rchild)
      {
        max_parent = max;
        max = max->rchild;
      }
      root->key = max->key;
      //左子樹是葉子節點(特殊情況)
      if(max_parent == max)
      {
        free(max);
        max = NULL;
        root->lchild = NULL;
      }
      else 
      {
        //不用判斷將左子樹的最大值至為空
        free(max_parent->rchild);
        max_parent->rchild = NULL;
      }
      return root;
    }
  }
  return root;
}