2-4 逆序對

    設A[1...n]是一個包含n個不同數的陣列。如果在i<j的情況下，有A[i]>A[j],則(i,j)就稱為A中的一個逆序對。

    (1)列出陣列{2,3,8,6,1}的五個逆序。

    (2)如果陣列的元素取自{1，2...，n}，那麼，怎樣的陣列含有最多的逆序對？

    (3)插入排序的時間與輸入陣列中逆序對的數量之間有怎樣的關係？

    (4)給出一個演算法，能用Θ（n㏒n)的最壞執行時間，確定n個元素的任何排列中你逆序對的數目。（提示：修改合併排序）

解答：

    （1） 略

    （2）逆序陣列

    （3）插入排序的時間與輸入陣列中逆序對的數量呈線性正相關關係。通過觀察插入排序的演算法偽碼可知，演算法的執行步驟主要取決於內層迴圈中元素移動的次數，而每次移動就意味著陣列的逆序數減一，當排序結束時逆序數為零。

    （4）依據分治法，如果我們將陣列分解成兩個子序列，分別求出兩個子序列的逆序數，再求出兩個子序列之間元素的逆序數，就可以得出整個陣列的逆序數了。可以做以下考慮：

            分解：將問題分成前後兩個規模為n/2的陣列

            解決：分別求解各自的逆序對數。如果子問題規模為2或1，可直接求解。

            合併：此時雖然知道兩個子序列各自的逆序對數，但兩個子序列之間的逆序對數無法輕易獲知，如果進行兩兩比較的話，合併操作的時間複雜度就是n2 ，分治法沒有意義。

            再考慮上述“合併”的問題，如果此時兩個子序列都是有序的話，則通過修改合併排序的MERG過程就可以得出子序列之間的逆序數：在MERG對兩個子序列的第一個元素之間進行選則時，如果前一個序列的首元素被選中，則逆序數不變——該元素不會和後一個序列中的剩下元素構成逆序對，如果第二個序列的首元素被選中，則逆序數增加“第一個序列剩下的元素數”——該元素和前一序列中剩下的每個元素構成逆序對，MERG後這些逆序對消除。按著這個思路分治演算法重新設計如下：

            分解：將問題分成前後兩個規模為n/2的陣列

            解決：分別進行遞迴合併排序，並記錄累加排序所消除的的逆序對數。如果子問題規模為2或1，可直接求解。

            合併：通過合併排序的MERG進行合併，在MERG過程中按上述方法累加逆序數。

PS：在最初用分治法考慮問題（4）時，排序的作用在一開並不那麼明顯，但通過對“合併”的分析，要求對子問題的求解需要產生“排序”的副作用。這種”副作用“在分治法中是值得注意的。

程式碼：

import java.util.Arrays;

public class Test {
	public static int count = 0;

	public static void main(String[] args) {
		int arr[] = { 6, 5, 4, 3, 2, 1 };
		int[] result = sort_and_count(arr);
		System.out.println("逆序數："+count);
		for(int i=0;i<result.length;i++){
			System.out.print(result[i]+" ");
		}
	}

	private static int[] sort_and_count(int[] arr) {
		if (arr.length == 1) {
			return arr;
		}
		int length = arr.length;
		int alength = length / 2;
		int A[] = Arrays.copyOfRange(arr, 0, alength);
		int B[] = Arrays.copyOfRange(arr, alength, length);
		A = sort_and_count(A);
		B = sort_and_count(B);
		arr = merge_and_count(A, B);
		return arr;
	}
	//此函式有兩個功能：
	//(1)歸併排序中的歸併
	//（2）計算逆序數
	private static int[] merge_and_count(int[] a, int[] b) {
		int i = 0;
		int j = 0;
		int result[] = new int[a.length+b.length];
		int current = 0;
		while (i < a.length && j < b.length) {
			if(a[i]<b[j]){		
				result[current++] = a[i];
				i++;
			}
			if(a[i]>b[j]){
				result[current++] = b[j];
				count += (a.length - i);
				j++;
			}
		}
		if(i==a.length){	
			for(;j<b.length;j++){
				result[current++] = b[j]; 
			}
		}
		if(j==b.length){
			for(;i<a.length;i++){
				result[current++] = a[i]; 
			}
		}
		return result;
	}
}