揹包問題(Knapsack problem)是一種組合優化的NP完全問題

揹包問題已經研究了一個多世紀，早期的作品可追溯到1897年 數學家托比亞斯·丹齊格（Tobias Dantzig，1884-1956）的早期作品 ，並指的是包裝你最有價值或有用的物品而不會超載你的行李的常見問題。

揹包問題的應用：

 1998年石溪布魯克演算法庫發現在75個演算法問題中，揹包問題是第18個最受歡迎，第4個最需要解決的問題。各種領域的決策問題都會出現，如尋找最少的浪費來削減原材料，選擇投資和投資組合，選擇資產支援資產證券化，和生成金鑰為和其他揹包密碼系統。

揹包問題的定義：

我們有n種物品，物品j的重量為wj，價格為pj。

我們假定所有物品的重量和價格都是非負的。揹包所能承受的最大重量為W。

如果限定每種物品只能選擇0個或1個，則問題稱為0-1揹包問題。

如果不限定每種物品的數量，則問題稱為無界揹包問題。

各類複雜的揹包問題總可以變換為簡單的0-1揹包問題進行求解。

      記得剛讀完百科的解釋後，我想著可不可以把每個物品是否要都考慮一遍，然後全排列，看看哪種情況是正確的，後來這種做法直接被否定了，因為早考慮的情況太多，當物品非常多的時候，有可能就無法進行了。後來聽同學說，考慮一件物品的去留，當時我是懷疑的，因為當從一件開始考慮時我認為這件物品和其他物品的關聯就斷了，也就是說你不能考慮整體的，可當真正開始處理的時候才明白，從一個物品開始，一個個考慮，是揹包問題

#include"stdio.h"
#define MAX 20
 
int Min(int x, int y)
{
return x <= y ? x : y;
}
 
int Max(int x, int y)
{
return x >= y ? x : y;
}
 
void TraceBack(int (*middle)[MAX], int *weight, int column, int length, int *x)
{
int i;
for(i = 1; i < length; i++)
if(middle[i][column] == middle[i + 1][column])
x[i] = 0;
else
{
x[i] = 1;
column -= weight[i];
}
x[length] = (middle[length][column] ? 1 : 0);
}
 
void Knapsack(int *value, int *weight, int column, int length, int (*middle)[MAX])
{
int i, j, jMax = Min(weight[length] - 1, column);
for(j = 0; j <= jMax; j++)//從最後一個開始觀察,因為最後一個程式碼沒有前面值，所以需要單獨寫
 
middle[length][j] = 0;
for(j = weight[length]; j <= column; j++)
middle[length][j] = value[length];
for(i = length - 1; i > 1; i--)//中間的程式碼一個一個單獨敲
{
jMax = Min(weight[i] - 1, column);
for(j = 0; j <= jMax; j++)
middle[i][j] = middle[i + 1][j];
for(j = weight[i]; j <= column; j++)
middle[i][j] = Max(middle[i + 1][j], middle[i + 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
middle[1][column] = middle[2][column];//最後的一組可以不考慮前面的情況，直接考慮最後他自己是否需要加入就可以
if(column >= weight[1])
middle[1][column] = Max(middle[1][column], middle[2][column - weight[1]] + value[1]);
}
 
int main(void)
{
int i, length, column, count = 0, wj[MAX], pj[MAX], x[MAX] = {0}, middle[MAX][MAX] = {0};
printf("請輸入揹包總容量：\n");
scanf("%d", &column);
printf("請輸入物品個數：\n");
scanf("%d", &length);
/*if(length < 1)
{
printf("輸入錯誤！！！\n");
return;
}//判斷*/
for(i = 1; i <= length; i++)
{
printf("請輸入第%d個物品的重量及價值：\n", i);
scanf("%d %d", wj + i, pj + i);//為什麼不在0開始
}
Knapsack(value, wj, column, length, middle);
TraceBack(middle, wj, column, length, x);
printf("Result:\n");
for(i = 1; i <= length; i++)
if(x[i])
printf("Number: %d, ", i);
printf("\n");
}