1、首先這裡先說下什麼是極座標？

在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對於平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對 (ρ,θ)就叫點M的極座標，這樣建立的座標系叫做極座標系。

這裡是百度百科的解釋，其實就是記住一個就可以了(ρ,θ)就是極座標。

我們這裡先來講下直角座標的二次積分，首先是找到積分割槽域D,這個積分割槽域D決定了積分次序（為社麼？因為最外面的一點是要常數上下界。這樣子才能實現最後得到一個數，也就是積分割槽域D的自變數是放在最外面的）

我們如何找積分割槽域？

首先，要明確確定自變數後，這個積分割槽域是可以看成一個函式，而不是看成一個方程。

其次，找到自變數後，在平面內畫一條垂直於積分割槽域自變數的直線，這個也就是應變數的上下界。

如圖所示

獲取到積分割槽域D後，我們將二重積分轉換成二次積分就可以了。

2、直角座標轉換成極座標進行二重積分。只要轉換被積表示式和區域D就可以了

書裡面說了，直角座標轉換成極座標二重積分，

1. 把被積函式的x,y轉換成pcosθ和psinθ。
2. 把dx和dy變成pdpdθ。

區域D的轉換：

在區間[α,β]上任取一個值，對應於這個值，做一條射線穿過積分閉區域D上的點的組成的極徑從p1(θ)變到p2(θ),其中p1(θ)和p2(θ)就是被積區域的極徑上下界。

極座標的應用：

求曲線面積：
如何將曲面面積與被積區域聯絡起來：

其中d6是dM曲面在被積區域內的投影，dA是dM的切平面。

其中的dM和dA可以看成幾乎相等，因為dA比dM多一個高階無窮小。因此也就求dM得面積也就變成了求dA得面積（直代曲），然後我們怎麼求dA的面積，這時候就和被積平面聯絡起來。

,及dA=d6/cosθ。

所以：

現在公式已經推出來了？然後就是運用這個公式了，這裡有幾道題目：

怎麼求體積：