概率理論和概率密度
前段時間在學習期間學習了機器學習和模式識別相關的內容，今天真理梳理一下知識點，用做自己的參考資料和學習資料，同時，若整理的資料中出現錯誤還懇請各位批評指正，共同學習，共同進步。由於自己基礎比較差，整理了兩部分的內容，一部分為本部分整理的基礎知識點內容，歸屬為“PRML基礎”，另一部分為“PRML學習”，希望有興趣的讀者共同交流進步。
一.概率理論
概率理論提供了一個量化與處理不確定性的數學框架，這是模式識別的基礎，與決策論結合可以讓我們做出最優的選擇。
簡單例子：
紅箱子：2
個蘋果，6 個橘子，藍箱子：3個蘋果
1 個橘子隨機的取一個箱子再從裡面取一個水果再放回原處，假設取紅箱子的、概率是
根據定義我們可以得到以下：這個例子下的貝葉斯理論解釋：假設沒有給出水果事件來求選擇了哪個箱子， 我們目前知道箱子事件的概率p(B)，這個概率叫做先驗概率（prior probability）因為還沒有觀察水果的選擇情況。一旦知道了選擇哪個水果，就可以求出p(B|F)，這個叫做後驗概率（posterior probability）因為是在觀察了水果之後確定的，後驗概率往往比先驗概率更加準確。p(X,Y)=p(X|Y)
計算過程如下：
這裡同時計算了上述所說的概率和先驗概率，上面說這個是通過貝葉斯理論來得到的，那麼通過貝葉斯理論可以完成後驗概率的計算問題：
對此可以通過下面這個例子來解釋：
試驗 N次每次取 x 於y，x發生了 xi的次數記為 ci，yi的發生次數記為 ri，聯合發生次數記為nij，這個是聯合概率（joint probability）
有時候，x,y也叫做邊緣概率：
條件概率（conditional probability）可以由上圖的點與列計算得出，他們之間的關係如下：
1.概率密度
概率密度（probability density）定義：當實數值x 落在區間(x,x+ax)的概率是p(x)*ax且ax趨向於0，p(x)就是x 的概率密度。
其滿足以下條件：
結合下面的圖來理解：
對於非線性變化的變數， 可以通過函式帶入方式從簡單函式變化為變數的概率密度函式。 即
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