題目描述

Hzy在和她的n只兔兔玩。
兔兔們站成一行，每次，Hzy可以選擇一個區間[l,r]，然後抱抱區間裡的所有兔兔，並獲得等同於區間長度r−l+1的愉悅度。每個區間Hzy只能選擇一次，請問Hzy一共能獲得多少愉悅度？
因為這個數太大了，所以Hzy只需要你輸出這個數對109+7取模後的結果。

輸入

一行一個正整數n，表示Hzy的兔兔的數量（n≤1018）。

輸出

一行一個正整數，表示Hzy獲得的總愉悅度對109+7取模後的結果。

樣例輸入

4

樣例輸出

20

【小結】：

一開始自己開始做，一直以為這是一道規律題，後來發現，是推公式的。

首先你寫出前5組事例，就是n=[1,5]，然後發現這是一個組合數

他的規律就是：C(n+2,n-1)

我以為可以套用Lucas來寫的，後來發現自己還是年輕了點，因為時間過不去。

超時程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9+7;
ll qmul ( ll a, ll b ){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans+a)%mod;
        }
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll qpow ( ll a, ll b ){
    ll ans=1;
    a=a%mod;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=qmul(ans,a);
        }
        a=qmul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
    if(m>n) return 0;
    ll ans=1;
    for (ll i=1;i<=m;i++){
        ll a=(n+i-m)%mod;
        ll b=i%mod;
        ans=ans*(a*qpow(b,mod-2)%mod)%mod;
    }
    return ans;
}
ll Lucas (ll n,ll m){
    if ( m==0 ) return 1;
        return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
 
}
/*ll solve(ll n){
    ll ans=0;
    ans=qmul(qpow(n,2),(n+1))*qpow(2,mod-2)%mod;
    ans=(ans-qmul(n,(n+1))*qpow(2,mod-2)%mod+mod)%mod;
    ans=(ans-qmul(qmul(n,(n+1)),(2*n+1))*qpow(6,mod-2)%mod+mod)%mod;
    return ans;
}*/
int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    printf("%lld\n",Lucas(n+2,n-1));
    return 0;
}
 

後來發現，這個原來要推公式來做的，

公式就是。

以n=5為例子：

然後大家看：

ans=5*1+4*2+3*3+2*4+1*5

推廣到n。

ans=n*(1) + (n-1) * 2 +(n-2) *3+ ……+(1)*n

ans=n*(1) + (n-1) * 2 +(n-2) *3+ ……+(n-(n-1))*n

ans=(1+2+……+n)*n-1*2-2*3-……-(n-1)*n

分成兩部分，

前半部分直接套用等差數列前n項求和公式即可，後半部分，我都不會推導，然後我找到的百度幫忙。

求：1*2+2*3+3*4+……+(n-1)*n

應該是1*2+2*3+3*4+...+n(n+1) 吧
一。n(n+1)=n^2+n
原式=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2)+(1+2+3+...+n)
分組求和，根據公式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6以及 1+2+3+...+n=n*(n+1)/2
所以原式=n(n+1)(2n+1)/6 + n*(n+1)/2 =(n+2)(n+1)n/3
二。裂項求和。
n(n+1)=[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
也就是 1*2=(3*2*1-2*1*0)/3,
2*3=(4*3*2-3*2*1)/3.....
所以原式=(3*2*1-2*1*0)/3 + (4*3*2-3*2*1)/3 +(5*4*3-4*3*2)/3 +...+[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
中間項都可以消去
=(n+2)(n+1)n/3

 求出來了，然後代入求解就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9+7;
ll qmul ( ll a, ll b ){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans+a)%mod;
        }
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll qpow ( ll a, ll b ){
    ll ans=1;
    a=a%mod;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=qmul(ans,a);
        }
        a=qmul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
    if(m>n) return 0;
    ll ans=1;
    for (ll i=1;i<=m;i++){
        ll a=(n+i-m)%mod;
        ll b=i%mod;
        ans=ans*(a*qpow(b,mod-2)%mod)%mod;
    }
    return ans;
}
ll Lucas (ll n,ll m){
    if ( m==0 ) return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
 
}
ll solve(ll n){
    ll ans=0;
    ans=qpow(n,3);
    ans=(ans+3*qpow(n,2)%mod)%mod;
    ans=(ans+2*n%mod)%mod;
    ans=ans*qpow(6,mod-2)%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    ll n;
 
    scanf("%lld",&n);
    printf("%lld\n",solve(n));
 
    return 0;
}