二分查詢法的實現和應用匯總
到目前位置,似乎我們學到的演算法中,時間複雜度是O(log n),好像就數二分查詢法,其他的諸如排序演算法都是 O(n log n)或者O(n2)。但是也正是因為有二分的 O(log n), 才讓很多 O(n2)縮減到只要O(n log n)。
關於二分查詢法
二分查詢法主要是解決在“一堆數中找出指定的數”這類問題。
而想要應用二分查詢法,這“一堆數”必須有一下特徵:
- 儲存在陣列中
- 有序排列
所以如果是用連結串列儲存的,就無法在其上應用二分查詢法了。
至於是順序遞增排列還是遞減排列,陣列中是否存在相同的元素都不要緊。不過一般情況,我們還是希望並假設陣列是遞增排列,陣列中的元素互不相同。
二分查詢法的基本實現
二分查詢法屬於“分治法”,分治法基本都可以用遞迴來實現的,二分查詢法的遞迴實現如下:
int binarysearch(int array[], int low, int high, int key){ if (low > high) return -1; int mid = (low + high) / 2; if (array[mid]> key) return binarysearch(array, low, mid - 1, key); else if (array[mid]< key) return binarysearch(array, mid + 1, high, key); //if (midValue == target) return mid; }
因為二分的遞迴其實是尾遞迴,它不關心遞迴前的所有資訊。所以它的非遞迴實現甚至可以不用棧
int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target){ while (low <= high){ int mid = (low + high) / 2; if (array[mid] > target) high = mid - 1; else if (array[mid] < target) low = mid + 1; else //find the target return mid; } //the array does not contain the target return -1; }
只用小於比較(<)實現二分查詢法
在前面的二分查詢實現中,我們既用到了小於比較(<)也用到了大於比較(>),也可能還需要相等比較(==)。
而實際上我們只需要一個小於比較(<)就可以。因為錯邏輯上講a>b和b<a應該是有相當的邏輯值;而a==b則是等價於 !((a<b)||(b<a)),也就是說a既不小於b,也不大於b。
當然在程式的世界裡, 這種關係邏輯其實並不是完全正確。另外,C++還允許對物件進行運算子的過載,因此開發人員完全可以隨意設計和實現這些關係運算符的邏輯值。
不過在整型資料面前,這些關係運算符之間的邏輯關係還是成立的,而且在開發過程中,我們還是會遵循這些邏輯等價關係來過載關係運算符。
幹嘛要搞得那麼羞澀,只用一個關係運算符呢?因為這樣可以為二分查詢法寫一個template,又能減少對目標物件的要求。模板會是這樣的:
template <typename T, typename V>
inline int BSearch(T& array, int low, int high, V& target){
while (!(high < low)){
int mid = (low + high) / 2;
if (target < array[mid])
high = mid - 1;
else if (array[mid] < target)
low = mid + 1;
else //find the target
return mid;
}
//the array does not contain the target
return -1;
}
我們只需要求target的型別V有過載
小於運算子就可以。而對於V的集合型別T,則需要有
[]運算子的過載。當然其內部實現必須是O(1)的複雜度,否則也就失去了二分查詢的效率。
用二分查詢法找尋邊界值
之前的都是在陣列中找到一個數要與目標相等,如果不存在則返回-1。我們也可以用二分查詢法找尋邊界值,也就是說在有序陣列中找到“正好大於(小於)目標數”的那個數。
用數學的表述方式就是:
在集合中找到一個大於(小於)目標數t的數x,使得集合中的任意數要麼大於(小於)等於x,要麼小於(大於)等於t。
舉例來說:給予陣列和目標數
int array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
int target = 7;
那麼上界值應該是11,因為它“剛剛好”大於7;下
界值則是5,因為它“剛剛好”小於7。
用二分查詢尋找上界
//Find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array
int BSearchUpperBound(int array[], int low, int high, int target){
//Array is empty or target is larger than any every element in array
if (low > high || target >= array[high]) return -1;
int mid;
while (high > low){
mid = (low + high) / 2;
if (array[mid] > target)
high = mid;
else
low = mid + 1;
}
return mid;
}
與精確查詢不同之處在於,精確查詢分成三類:大於,小於,等於(目標數)。而界限查詢則分成了兩類:大於和不大於。
如果當前找到的數大於目標數時,它可能就是我們要找的數,所以需要保留這個索引,也因此if (array[mid] > target)時 high=mid; 而沒有減1。
用二分查詢尋找下界
//Find the last element, whose value is less than target, in a sorted array
int BSearchLowerBound(int array[], int low, int high, int target){
//Array is empty or target is less than any every element in array
if (high < low || target <= array[low]) return -1;
int mid; //make mid lean to large side
while (low < high){
mid = (low + high + 1) / 2;
if (array[mid] < target)
low = mid;
else
high = mid - 1;
}
return mid;
}
下屆尋找基本與上屆相同,需要注意的是在取中間索引時,使用了向上取整。若同之前一樣使用向下取整,那麼當low == high-1,而array[low] 又小於 target時就會形成死迴圈。因為low無法往上爬超過high。
這兩個實現都是找嚴格界限,也就是要大於或者小於。如果要找鬆散界限,也就是找到大於等於或者小於等於的值(即包含自身),只要對程式碼稍作修改就好了:
去掉判斷陣列邊界的等號:
target >= array[high]改為 target > array[high]
在與中間值的比較中加上等號:
array[mid] > target改為array[mid] >= target
用二分查詢法找尋區域
之前我們使用二分查詢法時,都是基於陣列中的元素各不相同。假如存在重複資料,而陣列依然有序,那麼我們還是可以用二分查詢法判別目標數是否存在。不過,返回的index就只能是隨機的重複資料中的某一個。
此時,我們會希望知道有多少個目標數存在。或者說我們希望陣列的區域。
結合前面的界限查詢,我們只要找到目標數的嚴格上屆和嚴格下屆,那麼界限之間(不包括界限)的資料就是目標數的區域了。
//return type: pair<int, int>
//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//If target is not find, (-1,-1) will be returned
pair<int, int> SearchRange(int A[], int n, int target){
pair<int, int> r(-1, -1);
if (n <= 0) return r;
int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n - 1, target);
lower = lower + 1; //move to next element
if (A[lower] == target)
r.first = lower;
else //target is not in the array
return r;
int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n - 1, target);
upper = upper < 0 ? (n - 1) : (upper - 1); //move to previous element
//since in previous search we had check whether the target is
//in the array or not, we do not need to check it here again
r.second = upper;
return r;
}
它的時間複雜度是兩次二分查詢所用時間的和,也就是O(log n) + O(log n),最後還是O(log n)。
在輪轉後的有序陣列上應用二分查詢法
之前我們說過二分法是要應用在有序的陣列上,如果是無序的,那麼比較和二分就沒有意義了。
不過還有一種特殊的陣列上也同樣可以應用,那就是“輪轉後的有序陣列(Rotated Sorted Array)”。它是有序陣列,取期中某一個數為軸,將其之前的所有數都輪轉到陣列的末尾所得。比如{7, 11, 13, 17, 2, 3, 5}就是一個輪轉後的有序陣列。非嚴格意義上講,有序陣列也屬於輪轉後的有序陣列——我們取首元素作為軸進行輪轉。
下邊就是二分查詢法在輪轉後的有序陣列上的實現(假設陣列中不存在相同的元素)
int SearchInRotatedSortedArray(int array[], int low, int high, int target){
while (low <= high){
int mid = (low + high) / 2;
if (target < array[mid])
if (array[mid] < array[high]) //the higher part is sorted
high = mid - 1; //the target would only be in lower part
else //the lower part is sorted
if (target < array[low]) //the target is less than all elements in low part
low = mid + 1;
else
high = mid - 1;
else if (array[mid] < target)
if (array[low] < array[mid]) // the lower part is sorted
low = mid + 1; //the target would only be in higher part
else //the higher part is sorted
if (array[high] < target) //the target is larger than all elements in higher part
high = mid - 1;
else
low = mid + 1;
else //if(array[mid] == target)
return mid;
}
return -1;
}
對比普通的二分查詢法,為了確定目標數會落在二分後的那個部分,我們需要更多的判定條件。但是我們還是實現了O(log n)的目標。
二分查詢法的缺陷
二分查詢法的O(log n)讓它成為十分高效的演算法。不過它的缺陷卻也是那麼明顯的。就在它的限定之上:
必須有序,我們很難保證我們的陣列都是有序的。當然可以在構建陣列的時候進行排序,可是又落到了第二個瓶頸上:它必須是陣列。
陣列讀取效率是O(1),可是它的插入和刪除某個元素的效率卻是O(n)。因而導致構建有序陣列變成低效的事情。
解決這些缺陷問題更好的方法應該是使用二叉查詢樹了,最好自然是自平衡二叉查詢樹了,自能高效的(O(n log n))構建有序元素集合,又能如同二分查詢法一樣快速(O(log n))的搜尋目標數。