數學是一種發明還是發現？

蒂莫西·高爾斯

非數學的例子表明，當發現者對觀察物件或事實不能控制時，我們通常用“發現”或“創造”來描述這一發現過程。而物件或程式具有許多可由發明者或設計者選擇的特性時，那麼我們就用“發明”或“創造”來描述這一物件或程式的誕生過程。由此我們也得出了對這兩類過程的一些更精細但不那麼重要的區別：“發現”往往比“觀察”更重要，但較不易事後驗證。“發明”往往比“創造”更具一般性。

公式本身是一個發現，但不同人會用不同的方式來表達它：五次方程無通解（以及相關的群論）、大魔群

在數學上，直接用“發明”這個詞的情況多是指一般理論和技術的產生：微積分、複數理論、非歐幾何、大多數的證明（人們往往將證明視為物件而不是過程，側重於要證明的東西。證明的這種特點表明，當做者沒有選擇餘地時，我們用“發現”來指稱一個證明過程；如果可以有多種選擇的話，就用“發明”來指稱）

數學的某些部分是不可預料的，而一些則不同；有些的解是唯一的，另一些則有多個解；某些證明是顯而易見的，而有些則需投入大量的精力。所有的這些都取決於我們如何描述數學問題的產生過程，都完全獨立於一個人的立場。

探索巴別數學圖書館

馬庫斯·杜·索托伊

在數學家看來，藝術就是一種可用於挑選邏輯途徑的準則。這裡，我認為美感在作出這些選擇的過程中扮演著重要角色。

也許數學和其他科學之間的區別就在於我們生活在這樣一種自然世界裡，它充當著代理角色，挑選出那些具有特定性質的東西，而正是這種特殊性使我們——作為科學家——試圖理解為什麼它們如此特殊並被挑選出。

人們經常是在看到由數學得到的結果比運用它之前更豐富時才體會到它的價值。

文化和歷史背景也會對不同的數學發現的認可併為之激動產生影響。如：黎曼Zeta函式

數學發現的另一個關鍵是如何整合發現所跨越的主題。如：費馬大定理

試圖定量刻畫什麼是好的數學是註定要失敗的，就像我們無法用測量來評價為什麼莫扎特的音樂是如此神奇一樣。

數學實在

約翰·波金霍爾

數學的可比性：

• 第一層可比性與人類感知的一致性有關，或者說，與不同的觀察者所報告的、解釋的相互連貫性有關。
• 第二個方面是指獨立實在具有性質上、層次上的豐富性。
• 第三個方面與前一個方面有關，指的是探索獨立實在時遇到的出其不意性。

數學研究是一項智力探索，這一觀念的合理性因數學思維的直覺性質和在不自覺的創造性活動中所起的作用而得到強化。有些起作用的東西要比能夠用計算處理的平庸概念所描述的東西更為深刻。

結論：以應有的嚴肅性來看待數學的特點和成就的方法不外是在承認數學實體的純理性世界的實在這樣一種形而上學的背景下所制定的最佳方法。

數學、大腦與物理世界

羅傑·彭羅斯

1：數學在物理理論上的作用。 
2：有意識的大腦在思維時必然有某些東西是超出我們今天的物理定律所支配的範疇的。

0：就有意識的理解而言，在純粹的計算之外必定存在某種必不可少的東西。但在判斷數學命題的真理性時有意識的頭腦中到底是什麼在活動，仍然是個深奧的祕密。

柏拉圖數學世界：僅需大到足以包括對物理定律的描述即可。對於它的“存在”我們有一種額外的、超乎人類文化或想象的情形。

數學的理解

彼得·利普頓

我認為在瞭解所發生的現象和理解為什麼會發生這些現象之間存在鴻溝。任何將理解上必要的單純知識當做充分條件加以接受的模式都是不充分的。

問題的回溯特徵：理解不是要在解釋與被解釋的現象之間傳遞某種“超級知識”。理解似乎並不是某種特殊的認知狀態，而是提供某種額外的資訊，這些資訊本身不需要有特殊的認知狀態。
人們可以認為，對數學的理解正是源自數學分理這種特定的認知狀態，這些公理就是回溯的終止點。

最佳解釋推理：之所以推斷認為某個假設是正確的，是因為儘管在邏輯上它不是唯一與證據一致的假設，但如果它是對的，那麼它便能為此證據提供最佳解釋。

儘管數學研究的啟發絕非一種證明性過程，但像最佳解釋推理這樣的類似概念有可能是適用的。

數學中的創造和發現

瑪麗·倫

我認為，從反柏拉圖主義者的角度來看，理論發展的現象學實際上要比理論內部數學證明的現象學更容易得到解釋。如果對數學發現的現象作為解釋需要我們預設一種“實在”來作為我們進行數學判斷的基礎，那麼我認為，這個實在不是數學物件領域，而是邏輯結果所在的客觀事實領域。

在所有這些情形裡，我們受到使系統被構建的那種東西的約束：四元數、皮亞諾定理、C*代數公理

在這些情形下，怎樣才算做對一件事，這要取決於我們為自己設立的約束（要求我們給出一種滿足不同假設的結構）。我們不必（儘管我們可以這麼做）將這些約束看成是由那些被理論斷定為真的獨立物件所施加。相反，作為一系列最初假設或約束的結果 ，新的公理化能夠以在已確立的理論的語境下定理所起作用的方式來產生。在每一種情形下，真正重要的數學發現似乎都是作為這樣一種假設的結果的發現。

有關基於數學推理客觀性的邏輯結果的概念都是關於語義結果的概念，而非句法結果的概念。

維特根斯坦的觀點：也許我們可以接受這樣一種感覺：我們對邏輯結果的判斷具有獨立於人的決定的客觀基礎，但同時認為這種客觀性仍是一種假象。

發現、發明和實在論：哥德爾和其他人關於概念實在性的觀點

邁克爾·德特勒夫森

哥德爾的現象學論證

論證的核心：有關數學概念的命題內容“強迫”我們將其作為真理接受下來，其方式類似於命題內容通過感性經驗給我們留下印象的方式。

“強迫”作為實在的一種標識

從某種意義上說，在某些情況下，感官知覺會將虛假內容“強加於”我們，讓我們信其為真。而且，它這樣做是通過深層次心理傾向的操作而非僅僅通過所涉物質物件的客觀屬性來完成的。

近代觀點

在數學史上，過去曾有過，也許目前仍存在，一種將可靠性與廣泛的體驗聯絡起來的傳統，至少在某種程度上建構是被當做經驗的媒介的，但是這種經驗的內容不一定就是最終被 證明的或是合理的命題。

對於數學是被建立的還是被發現的這個問題，這一推理的假想的結果是這種的：徹底的創造主義關於概念的觀點是不可持續的。原因是，每個理論都必須保持一致，並且在最後的分析中，這種一致性只能通過識別見證的例項來顯示。

作為實際考慮的真實定義

對於數學是被建立的還是被發現的這個問題，這一推理的假想的結果是這樣的：徹底的創造主義關於概念的觀點是不可持續的。原因是，每個理論都必須保持一致，並且在最後的分析中，這種一致性只能通過識別見證的例項來顯示。

結論

有關感性經驗與哥德爾假設的由各種數學真理迫使我們信其為真所帶來的經驗之間的類比存在嚴重問題。如果說這種強迫是經驗的顯現，那麼強加給我們的讓我們信其為真的那些數學命題就應當被看成是數學的經驗部分。

數學與客觀性

斯圖爾特·夏皮羅

賴特：如果言談不能展示認知律令，那麼言談所涉及的事實就不是客觀事實。
指向整體性考慮的分歧最終可能會（譬如）部分地因為理論家對所發現的東西的趣味——講求精緻還是簡單而被裁定。我們並不能匯出數學不是客觀的，甚至認為數學不具有客觀性正規化。

數學物件的實在性

吉迪恩·羅森

簡約實在論：斷言數學物件存在的實在論

有條件的實在論：不僅數學物件在使我們的數學理論為真的過程中沒有發揮作用，而且物件本身的存在也僅僅是因為我們出於其他理由給出的關於它們的斷言為真。

還原論者：某一數學分支的每一項數學事實——例如算術的每一條真理，或集合論的每一條真理——最終都基於不同種類的事實，例如關於形式的可證明性的事實，或關於如果存在無窮序列物件時所發生情況下的事實。

結論：數學實在論的難題，即某些數學物件是否在基本層面上存在的問題，是清楚的。我得承認我不知道如何去回答。但這並不是說，這個問題最終無法回答。

我們從數學中得到的要比賦予它的多

馬克·施泰納

數學思想中內在地具有一種沒包含在語詞定義中的“潛在資訊”。這種“潛在資訊”是這些思想精髓的一部分，而不是由數學家放進去的。

例子：虛數的引入、四元數表示空間轉動、高維酉矩陣