這是悅樂書的第229次更新，第241篇原創

01 看題和準備

今天介紹的是LeetCode演算法題中Easy級別的第96題（順位題號是441）。您想要以樓梯形狀形成總共n個硬幣，其中每個第k行必須具有恰好k個硬幣。給定n，找到可以形成的完整樓梯行的總數。n是一個非負整數，適合32位有符號整數的範圍。例如：
n = 5
硬幣可以形成以下行：
¤
¤¤
¤¤
因為第3行不完整，我們返回2。

n = 8
硬幣可以形成以下行：
¤
¤¤
¤¤¤
¤¤
因為第4行不完整，我們返回3。

本次解題使用的開發工具是eclipse，jdk使用的版本是1.8，環境是win7 64位系統，使用Java語言編寫和測試。

02 第一種解法

因為每一行所表示的硬幣需要和行號相等，因此我們可以直接對n從1開始做減法。使用一個變數從1開始做自加，n每次減去該變數，直到n不大於0，最後判斷n是否等於0，等於0就返回該變數，否則返回該變數減1。

public int arrangeCoins(int n) {
    int i = 0;
    while (n > 0) {
        i++;
        n -= i;
    }
    return n == 0 ? i : i-1 ;   
}

03 第二種解法

利用二分法和等差數列的特性。每行樓梯對應的硬幣數，可以構成一個公差為1的等差數列，前n行樓梯總共需要（1+n）*n/2個硬幣，我們可以使用二分法，不斷取中間值，獲取對應的硬幣數，然後和n做比較，如果等於，直接返回當前中間數，如果小於，低位變成中間位加1，如果大於，高位變成中間位減1，最後返回高位。

在計算等差數列前n個數之和時，使用long型別，以免溢位。

public int arrangeCoins2(int n) {
    int low = 0, high = n;
    while (low <= high) {
        int mid = low + (high - low)/2;
        long sum = (1L+mid)*mid/2;
        if (sum == n) {
            return mid;
        } else if (sum < n) {
            low = mid+1;
        } else {
            high = mid-1;
        }
    }
    return high;
}
 

04 第三種解法

還是利用等差數列的求和公式x=（1+n）×n/2，可以反向推導求n的值。

2x = （1+n）*n;

n^2 + n - 2x = 0;

此時就變成解一元二次方程的根了，2a分之負b加減根號下b的平方減4乘以a乘以c，因為n大於0，所以只用求正根即可。

n = (-1 + Math.sqrt(1-4×(-2x)))/2;

n = (-1 + Math.sqrt(1+8x))/2;

其中，我們需要注意資料型別的隱式轉換，Math.sqrt返回的double型別的資料，因此8最好是double或者long型別的。

public int arrangeCoins3(int n) {
    return (int)((-1 + Math.sqrt(1 + 8.0*n)) / 2);
}

05 小結

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