有重複組合公式如下：

若在n種元素中有重複的選擇r個元素的公式：

$C_{n+r-1}^{r}$

這個公式的證明有很多種方法，這裡只選取最容易理解的方式進行證明：

證明如下：

把n種元素當成n個順序擺放的盒子，r是r個完全相同的球，這樣從n種元素中有重複取r個元素的方法就轉化成，把r個同質球放入n個盒子的方法

為什麼可以這樣呢，想想，把一個球放到第i個盒子就相當於從n種元素中我們取的第i種元素，如果有多個球放在第i個盒子中，相當於從n個元素中重複了取了第i種元素

空間中n+1條‘|’把空間分成n個盒子

舉個例子n=6，也就是6個盒子
$|\qquad|\qquad|\qquad|\qquad|\qquad|\qquad|$

那麼我們往裡面放球用’*'表示
則有
$| * | * * * * ||* * * ||*|$
我們發現
除去兩邊邊界的 $|$
實際的擺放方法就是n-1個 $|$ 和 r 個$*$ 的不同擺放方式

所以共有$n+r-1$個位置
我們從中選擇r個位置即可

因此得到公式

$C_{n+r-1}^{r}$