Address

• 洛谷 P4546
• BZOJ 5020
• LOJ #2289

Solution

• 如果只有一次函式 $ax+b$ ，那麼這是非常裸的 LCT ，維護 $a$
  a 之和與 $b$ 之和即可
• 然後你會發現
• $e^{a_{}}$
  1 x + b 1 ×
  e a 2 x + b 2 = e ( a 1 x + b 1 ) ( a 2 x + b 2 ) = e a 1 a 2 x 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) x + b 1 b 2 e^{a_1x+b_1}\times e^{a_2x+b_2}=e^{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)}=e^{a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2}
• 冪中有 $x^2$ 的項，照這樣的話如果一條路徑很長，那麼使用到的 $x$ 的最高次冪與路徑上的點數相同，無法簡單維護
• $\sin$ 甚至沒有可加性
• 回到 $ax+b$ ，我們可以很容易地推廣到，如果不是一次函式而是 $m$ 次多項式（ $m$ 較小），那麼我們同樣可以通過維護多項式每一次項係數的和，做到 $O(nm\log n)$ 的優秀複雜度
• 這讓我們思考能不能把 $\sin$ 和 $\exp$ 轉化成多項式
• 先科普下泰勒展開
• $f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}$
• 其中 $f^{(i)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $i$ 階導數
• 一般地，為了讓函式轉成多項式的形式，我們通常取 $x_0=0$
• 而 $\sin(ax+b)$ 和 $e^{ax+b}$ 是複合函式
• 可以按照 $h(x)=f(g(x)),h'(x)=f'(g(x))g'(x)$ 進行求導
• 於是我們得到
• $\sin(ax+b)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a^i\text{orz}(i,b)}{i!}x^i$
• 其中
• $\text{orz}(i,x)=\begin{cases}\sin x&i\bmod 4=0\\\cos x&i\bmod 4=1\\-\sin x&i\bmod 4=0\\-\cos x&i\bmod 4=3\end{cases}$
• $e^{ax+b}=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\sum }}\frac{}{}$