引言

通訊領域中，當然完全不止通訊領域，一個很常見的需求就是，從含有噪聲，或是已經畸變的訊號中，提取出或恢復出原始的、有用的訊號。怎麼做？可以用濾波器（Filter）。濾波器的變數（輸入）是訊號，訊號又是時間or空間or時間空間or…的函式。於是，函式的函式——泛函。至今，我沒有學過，唉……一定要抽時間學一下“泛函分析”……%>_<%關於濾波器的設計，在大學本科開設的“電路原理”、“類比電子技術基礎”、“訊號與系統”等課程中，或多或少要涉及一點，但好像基本上都是一些經典濾波器。比如LPF、HPF，……，IIR、FIR……前面的文章裡，有一些對IIR、FIR濾波器的回顧。對於濾波效果的評判標準有很多，這個問題沒有標準答案。客觀而言，均方誤差最小，均方離差（絕對誤差）最小等。主觀而言，看起來效果變好了？聽起來效果變好了？其實，就連聽起來效果變好了，這種話也是非常非常非常不嚴格的。比如，有些人就喜歡重低音的鼓點，有些人就是喜歡清晰的人聲。所以，實際效果還真的就是因人而異了。實際上（“實際上”，“事實上”的意思，就是提醒讀者注意，後面即將要出現重要的內容了！），在平均平方誤差（mean square error）的意義下，經典濾波器常常不能達到“最優”。
所以，更進一步，用現代濾波器做訊號處理。但是，通常，這是以“先要知道訊號的一些統計特性”為代價的。於是，維納（Wiener）濾波器，閃亮登場。其實，在學維納濾波器之前，應該先有一些隨機過程的基本概念。

維納濾波器簡介

以下摘自百度百科。維納濾波器（Wiener filter）是由數學家維納（Rorbert Wiener）提出的一種以最小平方為最優準則的線性濾波器。在一定的約束條件下，其輸出與一給定函式（通常稱為期望輸出）的差的平方達到最小，通過數學運算最終可變為一個託布利茲方程的求解問題。維納濾波器又被稱為最小二乘濾波器或最小平方濾波器，目前是基本的濾波方法之一。維納濾波是利用平穩隨機過程的相關特性和頻譜特性對混有噪聲的訊號進行濾波的方法，1942年美國科學家N.維納為解決對空射擊的控制問題所建立，是40年代線上性濾波理論方面所取得的最重要的成果。
更加詳細的資訊可參考百度百科的詞條維納濾波器。另外，維納濾波器應該是一個FIR濾波器。自適應濾波器（adaptive filter）基本框圖如下。自適應濾波器後面會講。跟自適應濾波器不同的地方就是，維納濾波器好像是沒有反饋的吧……所以維納濾波器的框圖，就是把下圖的反饋環路去掉，同時濾波器的係數不可變。自適應的是可以通過反饋回來的e進行係數調整。
x是濾波器的輸入，y是濾波器的輸出。輸出與一個參考訊號（期望訊號）d作差，得到誤差訊號e。

注意事項

剛開始接觸這一類濾波器的時候，我總是不知道這個參考訊號d是什麼情況。有些書上會把d說出期望訊號。我就在想，既然都能知道所期待的輸出訊號是什麼了，為什麼還要去濾波？這不簡直就是“脫了褲子放屁——多此一舉”嗎？我相信有很多人跟我一樣，初學的時候會覺得真的很奇怪。有些書根本就回避了這個至關重要的問題。我只能說，也許作者是真的很懂，以至於不知道我們這些初學者什麼不懂。好慘。其實，這裡面好像是有個“訓練”，或者叫“預先測試”的過程。我把它叫A階段，同時，把真正工作的階段叫B階段。在預先測試的過程中，要做的工作是去求濾波器的係數w；而一旦預先測試過程結束，濾波器真正開始工作了，其係數就不改變了。以我現在的認知水平，維納濾波器的邏輯是這樣的。1. 在預先測試的過程中，期望訊號d是可以知道的。x是可以獲取的。因此，可以求出濾波器的係數w。2. 在後來真正執行的過程中，就拿著這個w，去處理可以獲取的x。x可能是含噪訊號，可能是畸變訊號，等等。處理後，會輸出y。這就是處理過後的訊號，也許是濾除噪聲的，也許是通道均衡後的，也許是恢復過後的，等等。

一個例子

假設現在在一個很吵的環境中，要用話筒錄音，那不可避免會錄入噪聲。如何去除噪聲？除了用經典濾波器外呢，如果要求用維納濾波器呢？我個人的做法會是這樣。A. 預先測試過程1. 找一段所謂的乾淨的語音，作為d。假設就是在安靜的錄音棚裡錄下來的。先準備著。2. 播放乾淨的d，用話筒把它錄音，錄下來。因為有了噪聲，所以變成了含噪訊號x。我也拿到了。3. 用x和d，去計算濾波器係數w。B. 真正錄音階段1. 演員登場，真正的錄音開始了。這是能夠錄到含噪訊號x。2. 用A階段得到的w，去處理這時錄到的x。此時，應該說，輸出的y，就是降噪以後的訊號了。當然，感覺上，A階段所準備的乾淨語音，如果就是B階段中，真正要說話的那個人的聲音，按理說，效果可能會好一些。

基本原理

上面把例子都舉過了，現在再來說原理。詳細的原理和公式的推導可以找任何一本靠譜點的現代訊號處理、自適應濾波之類的書來參考。原理的話，就是希望在A階段，找一組濾波器係數w，讓濾波器的輸出y和期望訊號d之間的均方誤差最小。後來均方誤差是關於w的一個二次型，所謂的二次曲面，有唯一的極小值，同時也是最小值。然後就是一堆求偏導數，求最值。同時，令各個偏導導函式為0，求出駐點，也是極值點，也是最小值所在的自變數w所在的位置。利用隨機過程裡的一些式子，再假定什麼x寬平穩，再用相關函式的定義之類的一些東西，從而得到一個Wiener-Hoff方程。（Ax = b型別的非齊次線性方程組，此x非上文的x。單純是線性代數中的Ax=b那個x）方程中的A，是收集到的，待處理訊號x的自相關陣，也是一個Hermitian對稱陣，還是一個託普利茲（Toeplitz）矩陣。如果x是實訊號，那就是對稱矩陣。半正定，等等性質。方程中的x，是要求的維納濾波器的係數w。方程中的b，就是要求的期望訊號d和待處理訊號x之間的互相關陣。最後，算這個方程就是了。至於，w階數取多少，這個嘛，我反正目前只知道，“試”。trail and error。下面摘了一些資料過來。

擴充套件應用

維納濾波器，不僅可以用來降噪，也可以用來預測，還可以用來均衡。應用很廣泛的。後面會有維納濾波器的例項程式碼。今天就寫這麼多。