Problem 2. tcount
Input file: tcount.in
Output file: tcount.out
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Mr.H發現了一個無向連通圖，它覺得，如果選出一些邊來，使得這個圖變為一棵樹，那麼這個邊集就非常棒。
現在，Mr. H 想讓你幫忙求出有多少個非常棒的邊集？
Input
第1行，包含2個整數：n m,表示有n個點m條邊。
接下來m行，每行2個整數：u v，表示一條邊。
Output
輸出1行，包含1個整數，表示方案數模10^9 + 7。
Sample
tcount.in
3 3
1 2
2 3
1 3
tcount.out
3
tcount.in
4 6
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
tcount.out
16
Note
對於30% 的資料，1 <= n;m <= 12；
對於100% 的資料，1 <= n <= 100, 1 <= m <= n(n-1)/2
資料保證沒有重邊。

思路：
度數矩陣 a[i][i]為點i的度 其他位置為0
鄰接矩陣 a[i][i]=0; a[i][j]=[i與j相連]
基爾霍夫矩陣 = 度數矩陣 - 鄰接矩陣
Matrix-Tree 定理：
一個n個點m條邊的無向圖的生成樹總數為其對應的基爾霍夫矩陣的n-1階餘子式(行列式)。

行列式是什麼?
一種定義是：
det(A) = Σ (-1)^(i1i2..in) * a1i1 * a2i2 … anin
i1i2..in

其中i1i2…in 是一個1到n的排列，^(i1i2..in) 表示該排列的逆序對個數
行列式的性質
1.某行乘一個數，那麼行列式也乘那個數。
2.某行加到另一行，行列式不變
3.交換兩行，行列式取反相反數（交換兩個數逆序對個數總是改變奇數個）

由於中途有mod，double的除法又有可能炸精度。
所以有兩種解決方法，一個是輾轉相除，一個是逆元，下面的程式碼兩種都給出來了。

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cmath>  
#define LL long long
 

using namespace std;  

const int MOD = 1e9+7;
LL a[105][105];
int n, m, sign, du[105];

void solve(int N){
    sign = 0; LL ans = 1;
    for(int i=1; i<N; i++){
        for(int j=i+1; j<N; j++){//當前之後的每一行第一個數要轉化成0
            int x=i, y=j;
            while( a[y][i] ){//利用gcd的方法，不停地進行輾轉相除
                LL t = a[x][i] / a[y][i];
                for(int k=i; k<N; k++)
                    a[x][k] = (a[x][k] - a[y][k] * t) % MOD;
                swap(x, y);
            }
            if(x != i){//奇數次交換，則D=-D'整行交換
                for(int k=1; k<N; k++)
                    swap(a[i][k], a[x][k]);
                sign ^= 1;//行列式*-1
            }
        }
        if( !a[i][i] ){//斜對角中有一個0，則結果為0
            printf("0\n");
            return ;
        }
        else ans = ans * a[i][i] % MOD;
    }
    if(sign != 0) ans *= -1;
    if(ans < 0) ans += MOD;//
    printf("%I64d\n", ans);
    return ;
}

int main(){
    freopen ("tcount.in", "r", stdin);
    freopen ("tcount.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=m; i++){
        int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
        a[x][y] = a[y][x] = -1;
        du[x]++; du[y]++;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = du[i];
    solve(n);
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;
const int Mod = 1e9 + 7;

int n, m;
int aa[N][N];

int mpow(int a, int b) {
    int rt;
    for(rt = 1; b; b>>=1,a=(1LL*a*a)%Mod)
        if(b & 1) rt=(1LL*rt*a)%Mod;
    return rt;
}

int inverse(int a) {
    return mpow(a, Mod-2);
}

int det(int n) {
    int rt = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int j = -1, k;
        for(k=i; k<=n; k++)
            if(aa[k][i] != 0) {
                j = k;
                break;
            }
        if(j == -1) return 0;
        if(i != j) {
            for(k=i; k<=n; k++) {
                swap(aa[i][k], aa[j][k]);
                rt = (Mod - rt) % Mod;
            }
        }
        int inv = inverse(aa[i][i]);
        for(j = i + 1; j <= n; j++) {
            if(aa[j][i] == 0) continue;
            int r = 1LL * aa[j][i] * inv % Mod;
            for(k = i; k <= n; k++) {
                aa[j][k] -= 1LL * aa[i][k] * r % Mod;
                if(aa[j][k] < 0) aa[j][k] += Mod;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        rt = 1LL * rt * aa[i][i] % Mod;
    return rt;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        aa[u][u]++;
        aa[v][v]++;
        aa[u][v] = aa[v][u] = Mod-1;
    }
    printf("%d\n", det(n-1));
}