歷屆試題 矩陣翻硬幣
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問題描述
　　小明先把硬幣擺成了一個 n 行 m 列的矩陣。

　　隨後，小明對每一個硬幣分別進行一次 Q 操作。

　　對第x行第y列的硬幣進行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

　　其中i和j為任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。

　　當小明對所有硬幣都進行了一次 Q 操作後，他發現了一個奇蹟——所有硬幣均為正面朝上。

　　小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是，他向他的好朋友小M尋求幫助。

　　聰明的小M告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次Q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。
輸入格式
　　輸入資料包含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。
輸出格式
　　輸出一個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。
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2 3
樣例輸出
1
資料規模和約定
　　對於10%的資料，n、m <= 10^3；
　　對於20%的資料，n、m <= 10^7；
　　對於40%的資料，n、m <= 10^15；
　　對於100%的資料，n、m <= 10^1000（10的1000次方）
題目最終轉化求sqrt(n)*sqrt(m)（開方出來取整），由於題目資料太大（10的1000次方），因此實際考點是大數的開方和乘法：
大數乘法：模擬筆算即可

/*大數相乘函式
*知識點1：m位數和n位數相乘最多有n+m位數
*步驟1.移位操作
*步驟2.進位操作
*步驟3.去除高位0
*步驟4.轉化為字串
*/
string strMul(string a, string b)
{
    int len1 = a.length();
    int len2 = b.length();
    int i, j;
    vector<int>num(len1 + len2, 0);//最多len1+len2位
    //步驟一
    //遍歷相乘，i+j相等的要相加，暫存在num中，num中由低位到高位儲存，方便進位
    for (i = 0
 
; i<len1; i++)
        for (j = 0; j<len2; j++)
        {
            num[len1 - 1 + len2 - 1 - i - j] += (a[i] - '0')*(b[j] - '0');
        }
    //步驟二
    //進位操作，由低位向高位進位
    for (i = 0; i<len1 + len2 - 1; i++)
    {
        num[i + 1] = num[i + 1] + num[i] / 10;
        num[i] = num[i] % 10;
    }
    //步驟三
 

    //去除高位的多餘的零
    i = len1 + len2 - 1;
    while (i>=0)
    {
        if (num[i] != 0)
            break;
        i--;
    }
    //步驟四
    //將結果轉化成字串
    string result = "";
    while (i>=0)
    {
        result += num[i--] + '0';
    }
    return result;
}

大數開方：

/*
*知識點1：對n位數開方，開方出來的數的位數：n是偶數為n/2位,n是奇數為n/2+1位;
*知識點2：大數比較（見後面）
*步驟1：確定開方出來的數的位數
*步驟2：從高位向低位確定每一位的值
*/
string StrQurt(string a)
{
    int len = a.length();
    //對n位數開方，開方出來的數的位數：n是偶數為n/2,n是奇數為n/2+1;
    len = len % 2 == 0 ? len / 2 : len / 2 + 1;
    string ans = "";
    for (int i = 0; i < len;i++)
    {
        ans +='0';
        int j;
        //確定當前位從0-9遍歷判斷
        for (j = 0; j <= 9;j++)
        {
            ans[i] = j + '0';
            int key = StrCompare(StrMul(ans + string(len - 1 - i, '0'), ans + string(len - 1 - i, '0')), a);
            if (key == 0)return ans + string(len - 1 - i, '0');
            else if (key==1)break;
        }
        if (j<10)
            ans[i]--;
    }
    return ans;
}

/*大數比較函式
*a>b return 1
*a<b return -1
*a=b return 0
*/
int StrCompare(string a,string b)
{
    if (a.length() < b.length())
        return  -1;
    else if (a.length() > b.length())
        return  1;
    else        
        return a.compare(b);
}

題目到此基本已經沒有多大問題了，但是在確定開方數的每一位值時會花費大量的時間，因為後面有多個零做乘法，這是非常耗時的，提供兩個方法優化：
一、優化乘法演算法（網上有很多，自己找）
二、將零相乘的部分剔除開來，重新寫一個新的比較函式，傳入比較函式有三個引數StrCmp(已經確定的高位的值得乘方，2*未確定的低位0的個數，另一個要比較的數 )

//大數比較函式
int strCmp(string a, int pos, string b)
{
    int i;
    if (a.length() + pos>b.length())
        return 1;
    if (a.length() + pos<b.length())
        return -1;
    if (a.length() + pos == b.length())
    {
        for (i = 0; i<b.length(); i++)
        {
            if (i < a.length())
            {
                if (a[i]<b[i])
                    return -1;
                if (a[i] == b[i])
                    continue;
                if (a[i]>b[i])
                    return 1;
            }
            else
            {
                if (b[i]>'0')return -1;
            }

        }
    }
    return 0;
}

相應的開方函式為：

//大數開方函式
/*
*知識點1：對n位數開方，開方出來的數的位數：n是偶數為n/2位,n是奇數為n/2+1位;
*知識點2：大數比較
*步驟1：確定開方出來的數的位數
*步驟2：從高位向低位確定每一位的值
*/
string StrQurt(string a)
{
    int len = a.length();
    //對n位數開方，開方出來的數的位數：n是偶數為n/2,n是奇數為n/2+1;
    len = len % 2 == 0 ? len / 2 : len / 2 + 1;
    string ans = "";
    for (int i = 0; i < len;i++)
    {
        ans +='0';
        int j;
        //確定當前位從0-9遍歷判斷
        for (j = 0; j <= 9;j++)
        {
            ans[i] = j + '0';
            int key = strCmp(StrMul(ans, ans),2*(len-1-i),a);
            if (key == 0)return ans + string(len - 1 - i, '0');
            else if (key==1)break;
        }
        if (j<10)
            ans[i]--;
    }
    return ans;
}

完整程式碼如下：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include <vector>
using namespace std;
//
///*
/*大數相乘函式
*知識點1：m位數和n位數相乘最多有n+m位數
*步驟1.移位操作
*步驟2.進位操作
*步驟3.去除高位0
*步驟4.轉化為字串
*/
string StrMul(string a, string b)
{
    int len1 = a.length();
    int len2 = b.length();
    int i, j;
    vector<int>num(len1 + len2, 0);//最多len1+len2位
    //步驟一
    //遍歷相乘，i+j相等的要相加，暫存在num中，num中由低位到高位儲存，方便進位
    for (i = 0; i<len1; i++)
        for (j = 0; j<len2; j++)
        {
            num[len1 - 1 + len2 - 1 - i - j] += (a[i] - '0')*(b[j] - '0');
        }
    //步驟二
    //進位操作，由低位向高位進位
    for (i = 0; i<len1 + len2 - 1; i++)
    {
        num[i + 1] = num[i + 1] + num[i] / 10;
        num[i] = num[i] % 10;
    }
    //步驟三
    //去除高位的多餘的零
    i = len1 + len2 - 1;
    while (i>=0)
    {
        if (num[i] != 0)
            break;
        i--;
    }
    //步驟四
    //將結果轉化成字串
    string result = "";
    while (i>=0)
    {
        result +=  num[i--] + '0';
    }
    return result;
}
//大數比較函式
int strCmp(string a, int pos, string b)
{
    int i;
    if (a.length() + pos>b.length())
        return 1;
    if (a.length() + pos<b.length())
        return -1;
    if (a.length() + pos == b.length())
    {
        for (i = 0; i<b.length(); i++)
        {
            if (i < a.length())
            {
                if (a[i]<b[i])
                    return -1;
                if (a[i] == b[i])
                    continue;
                if (a[i]>b[i])
                    return 1;
            }
            else
            {
                if (b[i]>'0')return -1;
            }

        }
    }
    return 0;
}
//大數開方函式
/*
*知識點1：對n位數開方，開方出來的數的位數：n是偶數為n/2位,n是奇數為n/2+1位;
*知識點2：大數比較
*步驟1：確定開方出來的數的位數
*步驟2：從高位向低位確定每一位的值
*/
string StrQurt(string a)
{
    int len = a.length();
    //對n位數開方，開方出來的數的位數：n是偶數為n/2,n是奇數為n/2+1;
    len = len % 2 == 0 ? len / 2 : len / 2 + 1;
    string ans = "";
    for (int i = 0; i < len;i++)
    {
        ans +='0';
        int j;
        //確定當前位從0-9遍歷判斷
        for (j = 0; j <= 9;j++)
        {
            ans[i] = j + '0';
            int key = strCmp(StrMul(ans, ans),2*(len-1-i),a);
            if (key == 0)return ans + string(len - 1 - i, '0');
            else if (key==1)break;
        }
        if (j<10)
            ans[i]--;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    string a, b;
    while (cin >> a>>b)
    {
        cout << StrMul(StrQurt(a),StrQurt(b)) << endl;
    }
    return 0;
}