大三的春招，由於自己的不足，過得十分艱難。在各大公司的筆試題中，動態規劃是一個必考點。突然冒出一個想法，寫一個“動態規劃從入門到精通”系列，與各大網友一起交流學習。

學習動態規劃，愚認為，就是解決以下的三個問題：
什麼是動態規劃？什麼時候要用動態規劃？怎麼使用動態規劃？

讓我們一個一個來解決！

1、什麼是動態規劃？
這裡參考百度百科，動態規劃是求解決策過程最優化的數學方法。把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。

2、什麼時候要用動態規劃？
如果要求一個問題的最優解（通常是最大值或者最小值），而且該問題能夠分解成若干個子問題，並且小問題之間也存在重疊的子問題

3、怎麼使用動態規劃？
我把下面稱為動態規劃五部曲：
1. 判題題意是否為找出一個問題的最優解
2. 從上往下分析問題，大問題可以分解為子問題，子問題中還有更小的子問題
3. 從下往上分析問題 ，找出這些問題之間的關聯（狀態轉移方程）
4. 討論底層的邊界問題
5. 解決問題（通常使用陣列進行迭代求出最優解）

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。舉幾個例子：
例子1：
劍指Offer（第二版）面試題14：剪繩子
給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段 (m和n都是整數，n>1並且m>1)每段繩子的長度記為k[0],k[1],…,k[m].請問k[0]k[1]

例如，當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2,3,3的三段，此時得到的最大乘積是18.
看完題目，我們按照上面提到的“動態規劃五部”解決問題
1、判題題意是否為找出一個問題的最優解
看到字眼是“可能的最大乘積是多少”，判斷是求最優解問題，可以用動態規劃解決；

2、從上往下分析問題，大問題可以分解為子問題，子問題中還有更小的子問題
題目中舉了個例子：當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2,3,3的三段，此時得到的最大乘積是18；我們可以從這裡開始突破，把長度為8繩子的最大乘積分解為數個子問題，長度為8我們可以把它看成長度為1和7的繩子的和，或者長度 為2和6的繩子的和，或者長度為3和5的繩子的和and so on!
到這裡，相信大家已經看到一絲真理了吧？

3. 從下往上分析問題 ，找出這些問題之間的關聯（狀態轉移方程）
在第二點時，我們已經從上到下分析問題了，現在我們要從下往上分析問題了。分析可知，
f(8) 的值就是f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)它們之中的最小值，即f(8) = Max{f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)}
只要知道f(1)到f(7)的值就能求出f(8)；對於f(7)，只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(6)；對於f(6)，只要知道f(1)到f(5)的值就能求出f(6)；以些類推，我們只要知道前幾個邊界的值，就能一步步迭代出後續的結果!
狀態轉移方程： f(n)=Max{f(n-i)*f(i)} i={1,2,3,…,n/2}

4. 討論底層的邊界問題
底層的邊界問題說的就是最小的前幾個數值的f(n)的值，本題中就是f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值
對於f(0)，長度為0的繩子，沒辦法剪，沒有意義
對於f(1)，長度為1的繩子，沒辦法剪，設為1
對於f(2)，長度為2的繩子，只有一種剪法，剪成兩段長度為1的繩子，但剪後的乘積為1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘積最大值的話就沒必要剪。
對於f(3)，長度為3的繩子，只有一種剪法，剪成兩段長度為1和2的繩子，但剪後的乘積為2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘積最大值的話也沒必要剪。

5、解決問題
這一部就是寫程式碼了

public static int cutting(int n) {
        //長度小於等等於1沒辦法剪
        if(n <= 1)
            return 0;
        //對於f(2)，長度為2的繩子，只有一種剪法，剪成兩段長度為1的繩子，剪後的乘積為1
        if(n == 2)
            return 1;
        //對於f(3)，長度為3的繩子，只有一種剪法，剪成兩段長度為1和2的繩子，但剪後的乘積為2
        if(n == 3)
            return 2;
        int max = 0;
        //陣列用於儲存繩子乘積最大值
        int value[] = new int[n + 1];
        value[0] = 0;
        value[1] = 1;
        //剪後的乘積為1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘積最大值的話就沒必要剪
        value[2] = 2;
        //剪後的乘積為2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘積最大值的話也沒必要剪
        value[3] = 3;
        //從f(4)開始迭代
        for(int i = 4;i <= n; i++) {
            max = 0;
            for(int j = 1;j <= i/2; j++) {
                int val = value[j] * value[i - j];
                max = val > max ? val : max;
            }
            value[i] = max;
        }
        max = value[n];
        return max;
}

對於剛學習動態規劃的同學，看完上面那題會有點吃力吧？那我們再來一題簡單的，給大家增加信心！

例子2：
跳臺階問題
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個n級臺階總共有多少種跳法。

1、判題題意是否為找出一個問題的最優解
這個我還真的看不出，直覺判斷這題可以通過動態規劃迭代出來….有經驗的網友可以分享下看法，指導一下本小白白。

2、從上往下分析問題，大問題可以分解為子問題，子問題中還有更小的子問題
題目中沒有給粟子，我們可以自己舉點粟子。例如，跳上一個6級臺階臺階，有多少種跳法；由於青蛙一次可以跳兩階，也可以跳一階，所以我們可以分成兩個情況
1、青蛙最後一次跳了兩階，問題變成了“跳上一個4級臺階臺階，有多少種跳法”
2、青蛙最後一次跳了一階，問題變成了“跳上一個5級臺階臺階，有多少種跳法”
由上可得f(6) = f(5) + f(4);
由此類推，f(4)=f(3) +f(2)

3.、從下往上分析問題 ，找出這些問題之間的關聯（狀態轉移方程）
跟上面的例題一相同，可以由f(1)逐漸迭代上去
由2可得，狀態轉移方程為：f(n)=f(n-1)+f(n-2)

4、邊界情況分析
跳一階時，只有一種跳法，所以f(1)=1
跳兩階時，有兩種跳法，直接跳2階，兩次每次跳1階，所以f(2)=2
跳兩階以上可以分解成上面的情況

5、解決問題

public static int jump(int n) {
        //無意義的情況
        if(n <= 0)
            return 0;
        if(n == 1)
            return 1;
        if(n == 2)
            return 2;
        //陣列用於儲存跳n階的跳法數
        int[] value = new int[n + 1];
        value[0] = 0;
        value[1] = 1;
        value[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            value[i] = value[i - 1] + value[i - 2];
        }
        return value[n];
}