在數值計算的需求中，數值積分也是比較常見的一個。我們也知道像Matlab，Mathematics等軟體的積分求解功能非常高大上，不僅能求解定積分，還能求解不定積分，甚至多重積分等等。而Math.NET這個元件沒有如此高階的功能，目前也只提供了比較件的閉區間上的定積分求解功能。今天就一起來看看，因為不定積分涉及到符號計算，因此其背後的原理和實現要複雜得多。就連Matlab這種軟體暫時也不支援混編程式設計求解符號計算相關的功能。

1.定積分

　　很多人可能已經淡忘了定積分的概念，當然需要用到的朋友看到這裡，也基本不用看本段的內容，比較簡單，高等數學已經是10多年前學過的東西了，雖然以前很精通，現在也只能憑印象理解和網路來對這個概念稍微進行整理，可能有些不完整或小錯誤，還請諒解。

　　數學定義：如果函式f(x)在區間[a,b]上連續，用分點xi將區間[a,b]分為n 個小區間，在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，當n趨於無窮大時，上述和式無限趨近於某個常數A，這個常數叫做y=f(x) 在區間上的定積分. 記作/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 這裡，a 與 b叫做積分下限與積分上限，區間[a,b] 叫做積分割槽間，函式f(x) 叫做被積函式，x 叫做積分變數，f(x)dx 叫做被積式。

　　幾何定義：可以理解為在 Oxy座標平面上，由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。

詳細的可以參考以下連結：

2.Math.NET關於定積分的實現

 　　Math.NET中對定積分的實現都在MathNet.Numerics.Integration名稱空間以及Integrate.cs中,Integrate靜態類其實是對Integration名稱空間下幾個近似積分方法的實現。Math.NET定積分的近似求解主要是用到了“梯形法則”，詳細的內容可以參考以下：連結，其原理非常簡單。這裡我們只介紹經常用到的Integrate靜態類的實現，很簡單，其他內部實現過程可以查原始碼：

 1 using System;
 2 using MathNet.Numerics.Integration;
 
 3 
 4 namespace MathNet.Numerics
 5 {
 6     /// <summary>
 7     /// 數值積分類
 8     /// </summary>
 9     public static class Integrate
10     {
11         /// <summary>      
12         /// 近似解析光滑函式在閉區間上的定積分
13         /// </summary>
14         /// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
15         /// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
16         /// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
17         /// <param name="targetAbsoluteError">The expected relative accuracy of the approximation.</param>
18         /// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
19         public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd, double targetAbsoluteError)
20         {
21             return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, targetAbsoluteError);
22         }
23 
24         /// <summary>   
25         ///  近似解析光滑函式在閉區間上的定積分
26         /// </summary>
27         /// <param name="f">The analytic smooth function to integrate.</param>
28         /// <param name="intervalBegin">Where the interval starts, inclusive and finite.</param>
29         /// <param name="intervalEnd">Where the interval stops, inclusive and finite.</param>
30         /// <returns>Approximation of the finite integral in the given interval.</returns>
31         public static double OnClosedInterval(Func<double, double> f, double intervalBegin, double intervalEnd)
32         {
33             return DoubleExponentialTransformation.Integrate(f, intervalBegin, intervalEnd, 1e-8);
34         }
35     }
36 }

　　下面的例子就是直接呼叫該類進行的。　　

3.C#使用Math.NET求解定積分的例子

 　　使用比較簡單，直接看原始碼：

 1 // 1. Integrate x*x on interval [0, 10]
 2 Console.WriteLine(@"1.函式 x*x 在閉區間 [0, 10] 上的積分");
 3 var result = Integrate.OnClosedInterval(x => x * x, 0, 10);
 4 Console.WriteLine(result);
 5 Console.WriteLine();
 6 
 7 // 2. Integrate 1/(x^3 + 1) on interval [0, 1]
 8 Console.WriteLine(@"2.函式 1/(x^3 + 1) 在閉區間 [0, 1] 上的積分");
 9 result = Integrate.OnClosedInterval(x => 1 / (Math.Pow(x, 3) + 1), 0, 1);
10 Console.WriteLine(result);
11 Console.WriteLine();
12 
13 // 3. Integrate f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) on [0, 10]
14 Console.WriteLine(@"3.函式 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的積分");
15 result = Integrate.OnClosedInterval(x => Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x)), 0, 100);
16 Console.WriteLine(result);
17 Console.WriteLine();
18 
19 // 4. Integrate target function with absolute error = 1E-4
20 Console.WriteLine(@"4. 對目標函式進行積分，絕對誤差= 1E-4 ,區間 [0, 10]");
21 Console.WriteLine(@"public static double TargetFunctionA(double x)
22 {
23 return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
24 }");
25 result = Integrate.OnClosedInterval(TargetFunctionA, 0, 100, 1e-4);
26 Console.WriteLine(result);
27 Console.WriteLine();

引數主要有3個：函式，積分下限，積分上限，其他的就是附帶一個絕對誤差了，看看執行結果：

1.函式 x*x 在閉區間 [0, 10] 上的積分
333.333333333332

2.函式 1/(x^3 + 1) 在閉區間 [0, 1] 上的積分
0.835648848264702

3.函式 f(x) = exp(-x/5) (2 + sin(2 * x)) 在 [0, 10]上的積分
10.4950494839272

4. 對目標函式進行積分，絕對誤差= 1E-4 ,區間 [0, 10]
public static double TargetFunctionA(double x)
{
    return Math.Exp(-x / 5) * (2 + Math.Sin(2 * x));
}
10.4950494839276

4.資源