平衡二叉搜尋樹

在上一節中我們討論了建立一個二叉搜尋樹。我們知道，當樹變得不平衡時get和put操作會使二叉搜尋樹的效能降低到O(n)。在這一節中我們將看到一種特殊的二叉搜尋樹，它可以自動進行調整，以確保樹隨時都保持平衡。這種樹被稱為AVL樹，命名源於其發明者：G.M. Adelson-Velskii 和 E.M. Landis。

AVL樹實現抽象資料型別Map就像一個普通的二叉搜尋樹，唯一不同的是這棵樹的工作方式。為實現我們的AVL樹我們需要在樹中的每個節點加入一個平衡因子並跟蹤其變化情況。我們通過比較每個節點的左右子樹的高度完成比較。更正式地講，我們定義一個節點的平衡因子為左子樹和右子樹的高度之差。

利用以上對平衡因子的定義，如果平衡因子大於零，我們稱子樹“左重”(left-heavy)。如果平衡因子小於零，那麼子樹“右重”(right-heavy)。如果平衡因子為零，則樹是完全平衡的。為實現AVL樹，目的是得到一棵平衡的樹，我們定義平衡因子如果是 -1，0 或 1，那麼這棵樹是平衡的。一旦樹中節點的平衡因子超出了這個範圍，我們需要有一個把樹恢復平衡的過程。圖 1 是一個不平衡的“右重”樹的例子，其中每個節點都標註了平衡因子。

圖 1：一棵標註了平衡因子的不平衡的右重樹

AVL樹效能

在我們繼續進行之前讓我們看看引入這個新的平衡因子的結果。我們的要求是，確保樹上的平衡因子始終為 -1，0 或 1。我們可以通過對鍵的操作得到更好的時間複雜度。首先，我們要思考如何利用這個平衡條件去改變最壞情況下的樹。有兩種可能性需要考慮，左重樹和右重樹。如果我們考慮樹的高度為 0，1，2 和 3，圖 2 舉出了在新規則下可能出現的最不平衡的左重樹的例子。

圖 2：最壞情況下的左重AVL樹

讓我們看看樹上的節點的總數。我們看到一棵高度為 0 的樹有 1 個節點，一個高度為 1 的樹有 1 + 1 = 2 個節點，一個高度為 2 的樹有 1 + 1 + 2 = 4 個節點，一棵高度為 3 的樹有 1 + 2 + 4 = 7 個節點。概括起來，高度為h的樹的節點數（N_h）為：

可能你很熟悉這個公式，因為它和斐波那契序列非常相似。我們可以利用這個公式通過樹中的節點的數目推匯出一個AVL樹的高度。在我們的印象中，斐波那契數列與斐波那契數的關係為：

這個推導過程告訴我們，在任何時候我們的AVL樹的高度等於樹中節點數以 2 為底的對數的常數（1.44）倍。這對我們搜尋AVL