Python資料結構——AVL樹的實現
- 遞迴呼叫已到達樹的根。
- 父節點的平衡因子已調整為零。一旦子樹平衡因子為零，那麼父節點的平衡因子不會發生改變。
我們將實現 AVL 樹的子類BinarySearchTree。首先，我們將重寫_put方法，並寫一個新的輔助方法updateBalance。這些方法如Listing 1 所示。除了第 7 行和第 13 行對 updateBalance的呼叫，你會注意到_put和簡單的二叉搜尋樹的定義完全相同。
Listing 1
Python| 1234567891011121314151617181920212223242526 | def_put(self,key,val,currentNode):ifkey<currentNode.key:ifcurrentNode.hasLeftChild():self._put(key,val,currentNode.leftChild)else:currentNode.leftChild=TreeNode(key,val,parent=currentNode)self.updateBalance(currentNode |
updateBalance方法完成了大部分功能，實現了我們剛提到的遞迴過程。這個再平衡方法首先檢查當前節點是否完全不平衡，以至於需要重新平衡（第 16 行）。如果當前節點需要再平衡，那麼只需要對當前節點進行再平衡，而不需要進一步更新父節點。如果當前節點不需要再平衡，那麼父節點的平衡因子就需要調整。如果父節點的平衡因子不為零， 演算法通過父節點遞迴呼叫updateBalance方法繼續遞迴到樹的根。
當對一棵樹進行再平衡是必要的，我們該怎麼做呢？高效的再平衡是使 AVL 樹能夠很好地執行而不犧牲效能的關鍵。為了讓 AVL 樹恢復平衡，我們會在樹上執行一個或多個“旋轉”
（rotation）。
為了瞭解什麼是旋轉，讓我們看一個很簡單的例子。思考一下圖 3 的左邊的樹。這棵樹是不平衡的，平衡因子為 -2。為了讓這棵樹平衡我們將根的子樹節點 A 進行左旋轉。
圖 3：使用左旋轉變換不平衡樹
執行左旋轉我們需要做到以下幾點：
- 使右節點(B)成為子樹的根。
- 移動舊的根節點(A)到新根的左節點。
- 如果新根(B)原來有左節點，那麼讓原來B的左節點成為新根左節點(A)的右節點。
注：由於新根(B)是 A 的右節點，在這種情況下，移動後的 A 的右節點一定是空的。我們不用多想就可以給移動後的 A 直接新增右節點。
雖然這個過程概念上看起來簡單，但實現時的細節有點棘手，因為要保持二叉搜尋樹的所有性質，必須以絕對正確的順序把節點移來移去。此外，我們需要確保更新了所有的父節點。
讓我們看一個稍微複雜的樹來說明右旋轉。圖 4 的左側展現了一棵“左重”的樹，根的平衡因子為 2。執行一個正確的右旋轉，我們需要做到以下幾點：
- 使左節點(C)成為子樹的根。
- 移動舊根(E)到新根的右節點。
- 如果新根(C)原來有右節點(D)，那麼讓 D 成為新根右節點(E)的左節點。
注：由於新根(C)是 E 的左節點，移動後的 E 的左節點一定為空。這時可以直接給移動後的 E 新增左節點。
圖 4：使用右旋轉變換不平衡樹
現在你已經明白了旋轉的過程，瞭解了旋轉的方法，讓我們看看程式碼。Listing 2 同時顯示了右旋轉和左旋轉的程式碼。在第 2 行，我們建立一個臨時變數來跟蹤新的子樹的根。正如我們之前所說的新的根是舊根的右節點。現在，右節點已經儲存在這個臨時變數中。我們將舊根的右節點替換為新根的左節點。
下一步是調整兩個節點的父指標。如果newRoot原來有左節點，左節點的新父節點變成舊根。新根的父節點將成為舊根的父節點。如果舊根是整個樹的根，那麼我們必須讓整棵樹的根指向這個新的根。如果舊根是左節點，那麼我們改變左節點的父節點到一個新的根；否則，我們改變右節點的父節點到一個新的根（第 10-13 行）。最後我們設定的舊根的父節點成為新的根。這裡有很多複雜的中間過程，所以建議你一邊看函式的程式碼，一邊看圖 3。rotateRight方法和rotateLeft是對稱的，所以請自行研究rotateRight的程式碼。
Listing 2
| 123456789101112131415161718 | def rotateLeft(self,rotRoot):newRoot=rotRoot.rightChildrotRoot.rightChild=newRoot.leftChildifnewRoot.leftChild!=None:newRoot.leftChild.parent=rotRootnewRoot.parent=rotRoot.parentifrotRoot.isRoot():self.root=newRootelse:ifrotRoot.isLeftChild():rotRoot.parent.leftChild=newRootelse:rotRoot.parent.rightChild=newRootnewRoot.leftChild=rotRootrotRoot.parent=newRootrotRoot.balanceFactor=rotRoot.balanceFactor+1-min(newRoot.balanceFactor,0)newRoot.balanceFactor=newRoot.balanceFactor+1+max(rotRoot.balanceFactor,0) |
最後，第 16-17 行需要解釋一下。這兩行我們更新了舊根和新根的平衡因子。因為其他操作都是移動整個子樹，被移動的子樹內的節點的平衡因子不受旋轉的影響。但我們如何在沒有重新計算新的子樹的高度的情況下更新平衡因子？下面的推導將讓你明白，這些程式碼都是正確的。
圖 5：左旋轉
現在方程所有的項都是已知數。如果我們記得 B 是rotRoot，D 是newRoot，可以看出這正好符合第 16 行的語句：
| 12 | rotRoot.balanceFactor=rotRoot.balanceFactor+1-min(0,newRoot.balanceFactor) |
更新節點 D，以及右旋轉後的平衡因子的方程推導與此類似。
現在你可能認為步驟都完全瞭解了。我們知道如何並且什麼時候進行左右旋轉，但看看圖 6。由於節點 A 的平衡因子是 -2，我們應該做一個左旋轉。但是，當我們在左旋轉時會發生什麼？
圖 6：一棵更難平衡的不平衡樹
圖 7：顯示的樹左旋轉後，仍然不平衡。如果我們要做一個右旋轉來試圖再平衡，又回到了開始的狀態。
要解決這個問題，我們必須使用以下規則：
- 如果子樹需要左旋轉使之平衡，首先檢查右節點的平衡因子。如果右節點左重則右節點右旋轉，然後原節點左旋轉。
- 如果子樹需要右旋轉使之平衡，首先檢查左節點的平衡因子。如果左節點右重則左節點左旋轉，然後原節點右旋轉。
圖 8 顯示了這些規則如何解決了我們在圖 6 和圖 7 中遇到的問題。首先，以 C 為中心右旋轉，樹變成一個較好的形狀；然後，以 A 為中心左旋轉，整個子樹恢復平衡。
圖 8：右旋轉後左旋轉
實現這些規則的程式碼可以從我們“再平衡”（rebalance）的方法中找到，如Listing 3 所示。上面的第一條規則從第二行if語句中實現。第二條規則是由第 8 行elif語句實現。
Listing 3
| 12345678 | def rebalance(self,node):ifnode.balanceFactor0:self.rotateRight(node.rightChild)self.rotateLeft(node)else:self.rotateLeft(node)elif node.balanceFactor>0:ifnode.leftChild.balanceFactor |
通過保持樹的平衡，我們可以確保get方法執行的時間複雜度為 O(log2n)。但問題是put方法的時間複雜度是多少？我們把put操作進行分解。由於每一個新節點都是作為葉節點插入的，每一輪更新所有父節點的平衡因子最多隻需要 log2n 次操作，每層執行一次。如果子樹是不平衡的最多需要兩個旋轉把子樹恢復平衡。但是，每個旋轉的操作的複雜度為 O(1) ，所以即使我們進行put操作最終的複雜度仍然是 O(log2n)。
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