最大欄位和的3中解法
問題描述:
給定n個整數,組成序列a[1], a[2], a[3], ... a[n],求形如a[i]+a[i+1]+...+a[j]的欄位和的最大值。
// 最大子段求和,窮舉法,複雜度O(n^2) // 輸入引數:a[]儲存資料,其中a[0]儲存資料個數 // 返回值:返回最大子段的和值 long MaxSum0(int a[]) { int i, j; // 在[i,j]區間求欄位和 int sum = 0; long max = -200000L; // 三重迴圈:第一重是左邊界迴圈,第二重是右邊界迴圈,第三重是累加迴圈 for(i = 1; i <= a[0]; i ++) { sum = 0; for(j = i; j <= a[0]; j ++) { sum += a[j]; if(max < sum) max = sum; } } return max; } // 最大子段求和,分治法,複雜度O(nlog(n)) // 將a[1...n]分為兩部分a[1...n/2]和a[n/2+1...n],則a[1...n]的最大子段會有三種情況: // (1) a[1...n]的最大子段會是a[1...n/2]的最大子段 // (2) a[1...n]的最大子段會是a[n/2+1...n]的最大子段 // (3) a[1...n]的最大子段會是a[i...j],其中1<=i<=n/2, n/2+1<=j<=n // T(n) = 2T(n/2) + O(n) // T(n) = O(nlog(n)) // 輸入引數:a[]儲存資料,其中a[0]儲存資料個數;l為子段的左邊界;r為子段的右邊界 // 返回值:返回最大子段的和值 long MaxSum1(int a[], int l, int r) { int center = (l+r)/2; // 子段的中間索引 long lMax = 0, rMax = 0; // 左右區間的最大子段和值 long sum0, sum1, max0, max1, mMax; // 中部區間的最大子段和值 long max = 0; if(l == r) // 如果是一個數,那最大子段和就是本身 return a[l]; else { lMax = MaxSum1(a, l, center); // 迭代呼叫MaxSum1求取左區間的最大和值 rMax = MaxSum1(a, center+1, r); // 迭代呼叫MaxSum1求取右區間的最大和值 // 求取中部區間的最大和值 // 從center向左求最大和值 max0 = -20000L; sum0 = 0; for(int i = center; i >= l; i --) { sum0 += a[i]; if(max0 < sum0) max0 = sum0; } // 從center+1向右求最大和值 max1 = -20000L; sum1 = 0; for(int i = center+1; i <= r; i ++) { sum1 += a[i]; if(max1 < sum1) max1 = sum1; } mMax = max0 + max1; // 中部區間的最大和值 max = mMax; if(lMax > max) max = lMax; if(rMax > max) max = rMax; return max; } } // 最大子段求和,動態規劃法,複雜度O(n) // b[j] = a[i] + ... + a[j], 1<=i<=j, 1<=j<=n, 則最大子段和即是max b[j], 1<=j<=n // 若b[j-1]<=0, 則b[j] = a[j]; 若b[j-1]>0, 則b[j] = b[j-1] + a[j] // T(n) = O(n) // 輸入引數:a[]儲存資料,其中a[0]儲存資料個數 // 返回值:返回最大子段的和值 long MaxSum2(int a[]) { int max; int b; max = b = a[1]; for(int i = 2; i <= a[0]; i ++) { if(b <= 0) b = a[i]; else b += a[i]; if(max < b) max = b; } return max; }
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