Maximum sum【最大欄位和變式】
【題目描述】
對於給定的整數序列A={a1,a2,…,an}A={a1,a2,…,an},找出兩個不重合連續子段,使得兩子段中所有數字的和最大。我們如下定義函式 d(A):
我們的目標就是求出d(A)。
【輸入】
第一行是一個整數T(≤30),代表一共有多少組資料。
接下來是T組資料。
每組資料的第一行是一個整數,代表資料個數據n(2≤n≤50000) ,第二行是n個整數a1,a2,…,an(|ai|≤10000)a1,a2,…,an(|ai|≤10000)。
【輸出】
輸出一個整數,就是d(A)的值。
【輸入樣例】
1
10
1 -1 2 2 3 -3 4 -4 5 -5
【輸出樣例】
13
【提示】
就是求最大子段和問題,樣列取{2,2,3,-3,4}和{5},本題O(n^2)演算法超時,必須用O(n)演算法。
分析:
提示都已經說得很清楚了,最大欄位和問題。我們來回顧一下最大欄位和問題的狀態轉移方程:設f【i】表示以a【i】結尾的最大欄位和。f【i】=a【i】+f【i-1】;if(f【i-1】<0) f【i】-=f【i-1】。這是一條最大欄位和,那兩條怎麼辦呢?DP兩次?試一試…after coding,我們發現樣例都不能過,放棄。難道多維DP嗎?想了想,不符合,放棄。那怎麼做呢?這時我們想一下提示說的O(n^2)演算法是怎麼樣的:不難想到,f【i】表示以a【i】結尾的最大欄位和(1到i),F【i】表示以a【i】結尾的最大欄位和(i到n),那麼列舉i,j,ans=max(f【i】+f【j】)(n>=j>i>=1)。想一想如何優化:我們枚舉了i和j有沒有什麼辦法去減少一維呢?其實我們只要修改一下定義:F【i】表示1到i中最大欄位和(注意不一定是以a【i】結尾),F2【i】表示i到n中最大欄位和(注意不一定是以a【i】結尾),然後在DP完F和F2陣列後就可以通過列舉一個點i,ans=max(F2【i】+F【i-1】)(2<=i<=n)。至於F和F2的轉移方程就不再給出,留給大家思考的空間,如果實在想不出來見程式碼,有解釋。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
int a[100010],f[100010],F[100010 ],F1[100010],F2[100010];
inline int _max(int a,int b)
{
if(a>b) return a;
return b;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int k,i,ans=-0x7fffffff;//ans=負無窮,防止所有數都是負數的情況
scanf("%d",&k);
for(i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
for(i=1;i<=k;i++)//f【i】表示以a【i】結尾的最大欄位和(1到i)
{
if(f[i-1]>0) f[i]=a[i]+f[i-1];
else f[i]=a[i];
}
ans=_max(ans,f[1]);
F[1]=f[1];
for(i=2;i<=k;i++)//嘗試理解一下,不給出解釋
{
F[i]=_max(ans,f[i]);
ans=_max(ans,f[i]);
}
ans=-0x7fffffff;
for(i=k;i>=1;i--)//F1【i】表示以a【i】結尾的最大欄位和(i到n)
{
if(F1[i+1]>0) F1[i]=a[i]+F1[i+1];
else F1[i]=a[i];
}
ans=_max(ans,F1[k]);
F2[k]=F1[k];
for(i=k-1;i>=1;i--)//如果上面理解了這裡就很容易了
{
F2[i]=_max(ans,F1[i]);
ans=_max(ans,F1[i]);
}
ans=-0x7fffffff;
for(i=k;i>=2;i--)
{
ans=_max(ans,F2[i]+F[i-1]);//列舉端點,注意i>=2,不能==1
}
printf("%d\n",ans);
memset(f,0,sizeof(f));
memset(F,0,sizeof(F));
memset(F1,0,sizeof(F1));
memset(F2,0,sizeof(F2));//陣列記得初始化
}
return 0;
}
謝謝各位,有問題及時提出。