歐幾里得演算法(輾轉相除法)描述,證明和python實現
greatest common divisor
又稱輾轉相除法
演算法描述:給定兩個正整數m和n,求他們的最大公因子,即能夠同時整除m和n的最大正整數。
演算法步驟:
- 若m<n,那麼m↔n,為了確保m>n。
- 求m除以n得到的餘數r。
- 若r為0,演算法結束,n為答案。
- 若r不為0,則m←n,n←r,再跳轉到步驟2。
其中←為賦值符號,右邊的值賦值給左邊; ↔為交換符號,兩個變數交換它們的值。
演算法正確性證明:
在經過步驟1,2之後,m,n,r滿足下列關係:
m=qn+r
其中q是使等式成立的一個整數。比如42=2*20+2。
如果r=0,那麼m是n的倍數,所以n是m和n的最大公因子;如果r≠0,那麼整除m和n的任何數也一定整除r=m-qn(可以想象假設某個公因子是e,那麼e的整數倍減去e的整數倍,得到的結果還是e的整數倍),所以{m,n}和{n,r}的公因子集合是一樣的。所以m←n,n←r是合理的,又因為r是m除以n的餘數,所以r<n,那麼演算法是收斂的。
演算法實現(python):
m=int(input("Please input a number m")) n=int(input("Please input a number n")) #step 1 if m<n: _t=m m=n n=_t def gcd(m,n): #step 2 _r=m % n #step 3 if _r==0: return n #step 4 else: m=n n=_r return gcd(m,n) if __name__=="__main__": print(gcd(m,n))
現在已經有了實現求最大公約數的演算法,只需要稍微修改一下就可以求最小公倍數(Least Common Multiple)了。因為假設m和n的最大公約數是r,用字母c表示最小公倍數,就有:
程式碼如下:
def lcm(m,n):
return int(m*n/gcd(m,n))
參考文獻:
計算機程式設計藝術(The Art of Computer Programming),作者Donald Knuth
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