1.線性規劃

求線性規劃問題的最優解有兩種方法，一種方法是使用linprog命令，另一種是使用optimtool工具箱，下面分別介紹這兩種方法.

①linprog命令

一般情況下，Linprog命令的引數形式為[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)，下面分別介紹各引數的含義.

[x,fval]返回值中x為最優解，fval為最優值.

f表示目標函式中各個變數前面的係數向量，如果是求最小值問題，那麼f就是各個變數的係數，如果是求最大值問題，那麼f就是各個變數的係數的相反數.

A和b    表示不等式約束A*x <=b中的矩陣A和向量b.

Aeq和beq    表示等式約束Aeq*x =beq中的矩陣Aeq和向量beq.

lb和ub    分別表示自變數的上下界組成的向量，如果沒有上下界，該選項用[]表示，如果只有部分變數有上下界，其餘的變數沒有，那麼可以把沒有上下界的變數的上下界設為-inf或者inf使lb或者ub的長度符合要求.

x0    表示變數的初始值，可以預設.

由目標函式可知f=[-5;-4;-6];

由約束條件可知矩陣A = [1 -11;3 2 4;3 2 0];右端向量為b = [20;42;30];

由自變數都大於零可知lb =[0;0;0];

所以求該線性規劃問題最優解的程式碼如下

f = [-5;-4;-6];

A = [1 -1 1;3 24;3 2 0];

b = [20;42;30];

lb = [0;0;0];

[x,fval] =linprog(f,A,b,[],[],lb)

其中Aeq和beq都為空，因為沒有等式約束條件，只有不等式約束條件.

②optimtool工具箱

工具箱可以大致分為5個部分.第5部分為說明文件，第4部分為優化選項，第3部分為最優解和最優值的顯示區域，第2部分為約束條件輸入區，第1部分可以填入目標函式值，初始值等.

可以看到，最優解與linprog命令的方式求得的結果是相同的，但最優值不是-78，因為這是迭代的結果，只有在迭代次數區域無窮的時候，才能得到準確值-78.

這是求最大值問題，要先將問題化為求解最小值的問題，再進行求解.

利用linprog命令求解上述問題的程式碼如下

f = [-2;-3;5];

A = [-2 5 -1];b= [-10];

Aeq = [1 11];beq = [7];

lb = [0;0;0];

[x,feval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

可以驗證，兩種求解方法的結果是相同的.最後取最優值為圖中顯示的最優值的相反數.

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2.非線性規劃

也有兩種求解的方法，一種是fmincon命令，另一種是optimtool工具箱.

①fmincon命令

fmincon命令的一般引數形式為fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlinearcondition’)，其中各個引數含義如下

fun    目標函式(以求最小值為目標函式)

x0     最優解迭代的初始值

A,b    線性約束不等式A*x<= b

Aeq,beq    線性約束等式Aeq*x =beq

lb,ub   自變數的上下界

nonlinearcondition   非線性約束函式，它有兩個返回值，其中一個為非線性不等式約

束，另一個是非線性等式約束(具體舉例說明該項引數的設定)

在具體編寫程式碼過程中，可以將線性約束也寫在非線性約束函式nonlinearcondition中，簡化程式碼.

首先，編寫目標函式的M函式檔案，並儲存為fun.m程式碼如下

function f =fun(x)

f = x(1)^2 + x(2)^2 + 8;

end

其次，編寫線性和非線性約束的等式或不等式，編寫M函式檔案，並儲存為nonlinearcondition.m，程式碼如下

function [f,ceq] = nonlinearcondition(x)

    f = - x(1)^2 + x(2);

    ceq = - x(1) - x(2)^2 + 2;             %非線性等式約束

end

最後，在Command視窗輸入如下程式碼

[x,fval] =fmincon('fun',[0;0],[],[],[],[],[0;0],[],'nonlinearcondition')

即可得到最優值和最優解為x = [1;1]，fval = 10.

首先，編寫目標函式的M函式檔案，由於求得是最大值，所以先化為求最小值問題，再原目標函式前面新增負號即可，M函式檔案如下，儲存為fun.m.

function f =fun(x)

f = -(sqrt(x(1)) + sqrt(x(2)) + sqrt(x(3)) +sqrt(x(4)));

end

然後，編寫線性和非線性約束不等式已經非線性約束等式的M函式檔案，儲存為nonlinearcondition.m，程式碼如下

function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)

%非線性和線性不等式有4個

f(1) =x(1) - 400;

f(2) =1.1*x(1) + x(2) - 440;

f(3) =1.21*x(1) + 1.1*x(2) + x(3) - 484;

f(4) =1.331*x(1) + 1.21*x(2) + 1.1*x(3) + x(4) - 532.4;

ceq = 0;%由於沒有非線性約束等式，所以這一項寫 0

end

最後，在Command視窗輸入如下程式碼

[x,fval] =fmincon('fun',[0;0;0;0],[],[],[],[],[0;0;0;0],[],'nonlinearcondition')

即可得到最優解和最優值，最優值分別為

x =

   86.1883

  104.2879

  126.1883

  152.6879

fval = -43.0860

         目標函式最優值為z = -fval=43.0860.

例3，利用fmincon命令求解1.①中的線性規劃問題

首先，編寫目標函式的M函式檔案，M函式檔案如下，儲存為fun.m.

function f =fun(x)

f = -5*x(1) - 4*x(2) - 6*x(3);

end

然後，編寫線性和非線性約束不等式已經非線性約束等式的M函式檔案，儲存為nonlinearcondition.m，程式碼如下

function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)

%由於有3個線性約束，所以f返回一個三維向量

f(1) =x(1) - x(2) + x(3) - 20;

f(2) =3*x(1) + 2*x(2) + 4*x(3) - 42;

f(3) =3*x(1) + 2*x(2) - 30;

ceq = 0;%沒有非線性等式

end

最後，在Command視窗輸入如下程式碼

[x,fval] =fmincon('fun',[0;0;0],[],[],[],[],[0;0;0],[],'nonlinearcondition')

得到的結果與1.線性規劃問題的1.①中所用的線性方法所得結果相同.

②optimtool工具箱

利用工具箱求解在2.①中的一個問題

首先，編寫目標函式的M函式檔案，由於求得是最大值，所以先化為求最小值問題，再原目標函式前面新增負號即可，M函式檔案如下，儲存為fun.m.

function f =fun(x)

f = -(sqrt(x(1)) + sqrt(x(2)) + sqrt(x(3)) +sqrt(x(4)));

end

然後，編寫線性和非線性約束不等式已經非線性約束等式的M函式檔案，儲存為nonlinearcondition.m，程式碼如下

function [f,ceq]= nonlinearcondition(x)

%非線性和線性不等式有4個

f(1) =x(1) - 400;

f(2) =1.1*x(1) + x(2) - 440;

f(3) =1.21*x(1) + 1.1*x(2) + x(3) - 484;

f(4) =1.331*x(1) + 1.21*x(2) + 1.1*x(3) + x(4) - 532.4;

ceq = 0;%由於沒有非線性約束等式，所以這一項寫 0

end

所得結果與利用fmincon命令所得結果相同.

小結

規劃問題中還有特殊的一些問題，例如特殊的線性規劃問題——0-1規劃，特殊的非線性規問題——二次規劃問題，而線性規劃問題又是特殊的非線性規劃問題，所以這幾種規劃問題都可以用【非線性規劃問題】求解.

參考文獻

[1] 卓金武, 魏永生, 秦健, 李必文. MATLAB在數學建模中的應用[M]. 北京: 北京航空航天大學 2011: 18-24 .