求解多目標線性規劃的基本思想是將多目標轉化為單目標，常見的方法有理想點法、線性加權法、最大最小法、目標規劃法、模糊數學解法等。這裡就這幾種方法進行舉例說明，並用matlab實現。

一、多目標線性規劃模型

多目標線性規劃模型是有兩個或兩個以上的目標函式，且所有的目標函式和約束條件都是線性的，數學模型表示為：

我們記

則上述目標規劃可簡化為：

二、MATLAB優化工具箱常用函式

常用的求解最優化問題的函式，有線性規劃問題的linprog，非線性規劃問題的fmincon，最大最小問題的fminimax，求解多目標的fgoalattain等。呼叫形式分別為：

三、多目標線性規劃的求解方法及MATLAB實現

1.理想解法：

解：先對單目標進行求解

對第一個目標求解的matlab程式為：

f=[3;-2];
a=[2  3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
[x,favl]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);

輸出結果為：x=0.0000 6.0000，favl=-12.0000，所以最大值為12.0000

對第二個目標求解的matlab程式為：

f=[-4;-3];
a=[2  3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
[x,favl]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);

輸出結果為：x=3.0000 4.0000，favl=-24.0000，所以最大值為24.0000

於是得到理想點：（12,24）

Matlab程式為：

x0=[1;1];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
x=fmincon('((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2)',x0,a,b,[],[],lb,ub);
f1=-3*x(1)+2*x(2);
f2=4*x(1)+3*x(2);

2.線性加權法：

求解的matlab程式為：

f=[-0.5;-2.5];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
ub=[];
x=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);
 

輸出結果為：x1=0.0000,x2=6.0000,對應的目標值為f1=12.0000,f2=18.0000

3.最大最小法

首先編寫M函式檔案：

function f=mutiplesubjiect(x)
f(1)=3*x(1)-2*x(2);
f(2)=-4*x(1)-3*x(2);

然後輸入

>> x0=[0;0];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
[x,favl]=fminimax('mutiplesubjiect',x0,a,b,[],[],lb,[])

4.目標規劃法

首先編寫M函式檔案，和上述M函式相同。然後輸入：

goal=[12,24];
weight=[12,24];
x0=[0;0];
a=[2 3;2 1];
b=[18;10];
lb=[0;0];
[x,fval]=fgoalattain('mutiplesubjiect',goal,weight,x0,a,b,[],[],lb,[])

輸出結果為：x1=0.0000,x2=6.0000,對應的目標值為f1=12.0000,f2=18.0000

求解的matlab程式為：

f=[0;0;-1];
a=[3 -2 27
   -4 -3 24
   2 3 0
   2 1 0];
b=[15;0;18;10];
lb=[0;0;0];
ub=[];
[x,favl]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);
f1=-3*x(1)+2*x(2);
f2=4*x(1)+3*x(2);

輸出結果為：x1=1.0253,x2=5.3165,x3=0.8354,對應的目標值為f1=7.5570,f2=20.0506