兩個字串的編輯距離-動態規劃方法
概念
字串的編輯距離,又稱為Levenshtein距離,由俄羅斯的數學家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字元操作,把字串A轉換成字串B所需要的最少運算元。其中,字元操作包括:
- 刪除一個字元 a) Insert
a character
- 插入一個字元 b) Delete
a character
- 修改一個字元 c) Replace a character
例如對於字串"if"和"iff",可以通過插入一個'f'或者刪除一個'f'來達到目的。
一般來說,兩個字串的編輯距離越小,則它們越相似。如果兩個字串相等,則它們的編輯距離(為了方便,本文後續出現的“距離”,如果沒有特別說明,則預設為“編輯距離”)為0(不需要任何操作)。不難分析出,兩個字串的編輯距離肯定不超過它們的最大長度(可以通過先把短串的每一位都修改成長串對應位置的字元,然後插入長串中的剩下字元)。
問題描述
給定兩個字串A和B,求字串A至少經過多少步字元操作變成字串B。
問題分析
1)首先考慮A串的第一個字元
假設存在兩個字串A和B,他們的長度分別是lenA和lenB。首先考慮第一個字元,由於他們是一樣的,所以只需要計算A[2...lenA]和B[2...lenB]之間的距離即可。那麼如果兩個字串的第一個字元不一樣怎麼辦?可以考慮把第一個字元變成一樣的(這裡假設從A串變成B串):
- 修改A串的第一個字元成B串的第一個字元,之後僅需要計算A[2...lenA]和B[2...lenB]的距離即可;
- 刪除A串的第一個字元,之後僅需要計算A[2...lenA]和B[1...lenB]的距離即可;
- 把B串的第一個字元插入到A串的第一個字元之前,之後僅需要計算A[1...lenA]和B[2...lenB]的距離即可。
2)接下來考慮A串的第i個字元和B串的第j個字元。
我們這個時候不考慮A的前i-1字元和B串的第j-1個字元。如果A串的第i個字元和B串的第j個字元相等,即A[i]=B[j],則只需要計算A[i...lenA]和B[j...lenB]之間的距離即可。如果不想等,則:
- 修改A串的第i個字元成B串的第j個字元,之後僅需要計算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]的距離即可;
- 刪除A串的第i個字元,之後僅需要計算A[i+1...lenA]和B[j...lenB]的距離即可;
- 把B串的第j個字元插入到A串的第i個字元之前,之後僅需要計算A[i...lenA]和B[j+1...lenB]的距離即可。
寫到這裡,自然會想到用遞迴求解或者動態規劃求解,由於用遞迴會產生很多重複解,所以用動態規劃。
建動態規劃方程
用edit[i][j]表示A串和B串的編輯距離。edit[i][j]表示A串從第0個字元開始到第i個字元和B串從第0個字元開始到第j個字元,這兩個字串的編輯距離。字串的下標從1開始。
dis[0][0]表示word1和word2都為空的時候,此時他們的Edit Distance為0。很明顯可以得出的,dis[0][j]就是word1為空,word2長度為j的情況,此時他們的Edit Distance為j,也就是從空,新增j個字元轉換成word2的最小Edit Distance為j;同理dis[i][0]就是,word1長度為i,word2為空時,word1需要刪除i個字元才能轉換成空,所以轉換成word2的最小Edit Distance為i。
則從上面的分析,不難推匯出動態規劃方程:
,其中
上式中的min()函式中的三個部分,對應三種字元操作方式:
edit[i-1][j]+1相當於給word2的最後插入了word1的最後的字元,插入操作使得edit+1,之後計算edit[i-1][j];
edit[i][j-1]+1相當於將word2的最後字元刪除,刪除操作edit+1,之後計算edit[i][j-1];
edit[i-1][j-1]+flag相當於通過將word2的最後一個字元替換為word1的最後一個字元。flag標記替換的有效次數。
演算法分析:
也就是說,就是將一個字串變成另外一個字串所用的最少運算元,每次只能增加、刪除或者替換一個字元。
首先我們令word1和word2分別為:michaelab和michaelxy(為了理解簡單,我們假設word1和word2字元長度是一樣的),dis[i][j]作為word1和word2之間的Edit Distance,我們要做的就是求出michaelx到michaely的最小steps。
首先解釋下dis[i][j]:它是指word1[i]和word2[j]的Edit Distance。dis[0][0]表示word1和word2都為空的時候,此時他們的Edit Distance為0。很明顯可以得出的,dis[0][j]就是word1為空,word2長度為j的情況,此時他們的Edit Distance為j,也就是從空,新增j個字元轉換成word2的最小Edit Distance為j;同理dis[i][0]就是,word1長度為i,word2為空時,word1需要刪除i個字元才能轉換成空,所以轉換成word2的最小Edit Distance為i。下面及時初始化程式碼:
for(int i =0; i < row; i++) dis[i][0]= i;
for(int j =0; j < col; j++)
dis[0][j]= j;
下面來分析下題目規定的三個操作:新增,刪除,替換。
假設word1[i]和word2[j](此處i = j)分別為:michaelab和michaelxy
如果b==y,
那麼:dis[i][j] = dis[i-1][j-1]。
如果b!=y,
那麼:新增:也就是在michaelab後面新增一個y,那麼word1就變成了michaelaby,
此時 dis[i][j] = 1 + dis[i][j-1];
上式中,1代表剛剛的新增操作,新增操作後,word1變成michaelaby,word2為michaelxy。
dis[i][j-1]代表從word1[i]轉換成word2[j-1]的最小Edit Distance,也就是michaelab轉換成michaelx的最小
Edit Distance,由於兩個字串尾部的y==y,所以只需要將michaelab變成michaelx就可以了,而他們之間的最
小Edit Distance就是dis[i][j-1]。
刪除:也就是將michaelab後面的b刪除,那麼word1就變成了michaela,此時dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j];
上式中,1代表剛剛的刪除操作,刪除操作後,word1變成michaela,word2為michaelxy。dis[i-1][j]代表從
word[i-1]轉換成word[j]的最小Edit Distance,也就是michaela轉換成michaelxy的最小Edit Distance,所以
只需要將michaela變成michaelxy就可以了,而他們之間的最小Edit Distance就是dis[i-1][j]。
替換:也就是將michaelab後面的b替換成y,那麼word1就變成了michaelay,此時dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j-1];
上式中,1代表剛剛的替換操作,替換操作後,word1變成michaelay,word2為michaelxy。dis[i-1][j-1]代表從
word[i-1]轉換成word[j-1]的最小Edit Distance,也即是michaelay轉換成michaelxy的最小Edit Distance,由
於兩個字串尾部的y==y,所以只需要將michaela變成michaelx就可以了,而他們之間的最小Edit Distance就是
dis[i-1][j-1]。
舉例:
比如要計算cafe和coffee的編輯距離。cafe→caffe→coffe→coffee先建立一個6×8的表(cafe長度為4,coffee長度為6,各加2)(1):c | o | f | f | e | e |
c | |||||
a | |||||
f | |||||
e | 表 | 1 |
c | o | f | f | e | e | |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
c | 1 | |||||
a | 2 | |||||
f | 3 | |||||
e | 4 | 表 | 2 |
- 如果最上方的字元等於最左方的字元,則為左上方的數字。否則為左上方的數字+1。(對於3,3來說為0)
- 左方數字+1(對於3,3格來說為2)
- 上方數字+1(對於3,3格來說為2)
c | o | f | f | e | e | |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
c | 1 | 0 | ||||
a | 2 | |||||
f | 3 | |||||
e | 4 | 表 | 3 |
c | o | f | f | e | e | ||
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
c | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
f | 3 | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
e | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 |
程式碼:
<pre name="code" class="cpp">#include<stdio.h>
#include<string.h>
char s1[1000],s2[1000];
int min(int a,int b,int c)
{
int tmp=a<b?a:b;
return tmp<c?tmp:c;
}
void editDistance(int len1,int len2)
{
int **d=new int*[len1+1];
for(int i=0;i<=len1;i++)
d[i]=new int[len2+1];
int i,j;
for(i=0;i<=len1;i++)
d[i][0]=i;
for(j=0;j<=len2;j++)
d[0][j]=j;
for(i=1;i<=len1;i++)
{
for(j=1;j<=len2;j++)
{
int cost=s1[i]==s2[j]?0:1;
int deletion=d[i-1][j]+1;
int insertion=d[i][j-1]+1;
int substitution=d[i-1][j-1]+cost;
d[i][j]=min(deletion,insertion,substitution);
}
}
printf("距離為:%d\n",d[len1][len2]);
for(int i=0;i<=len1;i++)
{
delete[] d[i];
}
delete[] d;
}
int main()
{
while(scanf("%s%s",s1,s2)!=EOF)
{
editDistance(strlen(s1),strlen(s2));
}
}
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