寫一點自己理解的AdaBoost，然後再貼上面試過程中被問到的相關問題。按照以下目錄展開。

當然，也可以去我的部落格上看

• Boosting提升演算法
• AdaBoost
  • 原理理解
  • 例項
  • 演算法流程
  • 公式推導
• 面經

Boosting提升演算法

AdaBoost是典型的Boosting演算法，屬於Boosting家族的一員。在說AdaBoost之前，先說說Boosting提升演算法。Boosting演算法是將“弱學習演算法“提升為“強學習演算法”的過程，主要思想是“三個臭皮匠頂個諸葛亮”。一般來說，找到弱學習演算法要相對容易一些，然後通過反覆學習得到一系列弱分類器，組合這些弱分類器得到一個強分類器。Boosting演算法要涉及到兩個部分，加法模型和前向分步演算法。加法模型就是說強分類器由一系列弱分類器線性相加而成。一般組合形式如下：

$$F_M(x;P)=\sum_{m=1}^nβ_mh(x;a_m)$$

其中，$h(x;a_m)$ 就是一個個的弱分類器，$a_m$是弱分類器學習到的最優引數，$β_m$就是弱學習在強分類器中所佔比重，$P$是所有$a_m$和$β_m$的組合。這些弱分類器線性相加組成強分類器。

前向分步就是說在訓練過程中，下一輪迭代產生的分類器是在上一輪的基礎上訓練得來的。也就是可以寫成這樣的形式：

$$F_m (x)=F_{m-1}(x)+ β_mh_m (x;a_m)$$

由於採用的損失函式不同，Boosting演算法也因此有了不同的型別，AdaBoost就是損失函式為指數損失的Boosting演算法。

AdaBoost

原理理解

基於Boosting的理解，對於AdaBoost，我們要搞清楚兩點：

1. 每一次迭代的弱學習$h(x;a_m)$有何不一樣，如何學習？
2. 弱分類器權值$β_m$如何確定？

對於第一個問題，AdaBoost改變了訓練資料的權值，也就是樣本的概率分佈，其思想是將關注點放在被錯誤分類的樣本上，減小上一輪被正確分類的樣本權值，提高那些被錯誤分類的樣本權值。然後，再根據所採用的一些基本機器學習演算法進行學習，比如邏輯迴歸。

對於第二個問題，AdaBoost採用加權多數表決的方法，加大分類誤差率小的弱分類器的權重，減小分類誤差率大的弱分類器的權重。這個很好理解，正確率高分得好的弱分類器在強分類器中當然應該有較大的發言權。

例項

為了加深理解，我們來舉一個例子。

有如下的訓練樣本，我們需要構建強分類器對其進行分類。x是特徵，y是標籤。

令權值分佈$D_1=(w_{1,1},w_{1,2},…,w_{1,10} )$

並假設一開始的權值分佈是均勻分佈：$w_{1,i}=0.1，i=1,2,…,10$

現在開始訓練第一個弱分類器。我們發現閾值取2.5時分類誤差率最低，得到弱分類器為：

當然，也可以用別的弱分類器，只要誤差率最低即可。這裡為了方便，用了分段函式。得到了分類誤差率$e_1=0.3$。

第二步計算$(G_1 (x)$在強分類器中的係數$α_1=\frac{1}{2} log\frac{ 1-e_1}{e_1}=0.4236$，這個公式先放在這裡，下面再做推導。

第三步更新樣本的權值分佈，用於下一輪迭代訓練。由公式：

$$w_{2,i}=\frac{w_{1,i}}{z_1}exp⁡(-α_1 y_i G_1 (x_i ))，i=1,2,…,10$$

得到新的權值分佈，從各0.1變成了:

$$D_2=(0.0715,0.0715,0.0715,0.0715,0.0715,0.0715,0.1666,0.1666,0.1666,0.0715)$$

可以看出，被分類正確的樣本權值減小了，被錯誤分類的樣本權值提高了。

第四步得到第一輪迭代的強分類器：

$$sign(F_1 (x))=sign(0.4236G_1 (x))$$

以此類推，經過第二輪……第N輪，迭代多次直至得到最終的強分類器。迭代範圍可以自己定義，比如限定收斂閾值，分類誤差率小於某一個值就停止迭代，比如限定迭代次數，迭代1000次停止。這裡資料簡單，在第3輪迭代時，得到強分類器：

$$sign(F_3 (x))=sign(0.4236G_1 (x)+0.6496G_2 (x)+0.7514G_3 (x))$$
的分類誤差率為0，結束迭代。

$F(x)=sign(F_3 (x))$就是最終的強分類器。

演算法流程

總結一下，得到AdaBoost的演算法流程：

• 輸入：訓練資料集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_N,y_N)\}$，其中，$x_i∈X⊆R^n$，$y_i∈Y={-1,1}$，迭代次數$M$
• 1.　初始化訓練樣本的權值分佈：$D_1=(w_{1,1},w_{1,2},…,w_{1,i}),w_{1,i}=\frac{1}{N},i=1,2,…,N$。
• 2.　對於$m=1,2,…,M$
• 　　(a)　使用具有權值分佈$D_m$的訓練資料集進行學習，得到弱分類器$G_m (x)$
• 　　(b)　計算$G_m(x)$在訓練資料集上的分類誤差率：

$$e_m=\sum_{i=1}^Nw_{m,i}  I(G_m (x_i )≠y_i )$$

• 　　(c)　計算$G_m (x)$在強分類器中所佔的權重：

$$α_m=\frac{1}{2}log \frac{1-e_m}{e_m} $$

• 　　(d)　更新訓練資料集的權值分佈（這裡，$z_m$是歸一化因子，為了使樣本的概率分佈和為1）：

$$w_{m+1,i}=\frac{w_{m,i}}{z_m}exp⁡(-α_m y_i G_m (x_i ))，i=1,2,…,10$$

$$z_m=\sum_{i=1}^Nw_{m,i}exp⁡(-α_m y_i G_m (x_i ))$$

• 3.    得到最終分類器：

$$F(x)=sign(\sum_{i=1}^Nα_m G_m (x))$$

公式推導

現在我們來搞清楚上述公式是怎麼來的。

假設已經經過$m-1$輪迭代，得到$F_{m-1} (x)$，根據前向分步，我們可以得到：

$$F_m (x)=F_{m-1} (x)+α_m G_m (x)$$

我們已經知道AdaBoost是採用指數損失，由此可以得到損失函式：

$$Loss=\sum_{i=1}^Nexp⁡(-y_i F_m (x_i ))=\sum_{i=1}^Nexp⁡(-y_i (F_{m-1} (x_i )+α_m G_m (x_i )))$$

這時候，$F_{m-1}(x)$是已知的，可以作為常量移到前面去:

$$Loss=\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}} exp⁡(-y_i α_m G_m (x_i ))$$
其中，$\widetilde{w_{m,i}}=exp⁡(-y_i (F_{m-1} (x)))$ ，敲黑板！這個就是每輪迭代的樣本權重！依賴於前一輪的迭代重分配。

是不是覺得還不夠像？那就再化簡一下：

$$\widetilde{w_{m,i}}=exp⁡(-y_i (F_{m-1} (x_i )+α_{m-1} G_{m-1} (x_i )))=\widetilde{w_{m-1,i}} exp⁡(-y_i α_{m-1} G_{m-1} (x_i ))$$

現在夠像了吧？ok，我們繼續化簡Loss：

$$Loss=\sum_{y_i=G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}} exp(-α_m)+\sum_{y_i≠G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}} exp⁡(α_m)$$

$$=\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}(\frac{\sum_{y_i=G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}}}{\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}}exp(-α_m)+\frac{\sum_{y_i≠G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}}}{\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}}exp(α_m))$$

公式變形之後，炒雞激動！$\frac{\sum_{y_i≠G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}}}{\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}}$這個不就是分類誤差率$e_m$嗎？？？！重寫一下，

$$Loss=\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}exp⁡(-α_m)+e_m exp⁡(α_m))$$

Ok，這樣我們就得到了化簡之後的損失函式。接下來就是求導了。

對$α_m$求偏導，令$\frac{∂Loss}{∂α_m }=0$得到：

$$α_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m} $$

真漂亮！

另外，AdaBoost的程式碼實戰與詳解請戳程式碼實戰之AdaBoost

面經

今年8月開始找工作，參加大廠面試問到的相關問題有如下幾點：

1. 手推AdaBoost
2. 與GBDT比較
3. AdaBoost幾種基本機器學習演算法哪個抗噪能力最強，哪個對重取樣不敏感？