這是紫書P280~P282的讀書筆記

樹的最大獨立集

概念:在一個無根樹中選出一些互不相鄰的點,使這個集合最大
定義:d[i]為以i為根的子樹中最大獨立集的值,s[i]表示i的兒子,gs[i]表示孫子
方程:對於i點只有兩種狀態選或者不選,可以看成一個01揹包問題,轉移只有兩種:
d[i]=max(1+sum(d[j1]),sum(d[j2]));j1∈gs[i],j2∈s[i];sum是累加

注意的地方:
如果對於每一個需要計算的地方我們都要找出其所有的s和gs,不容易實現,
可以選擇:列舉到i點時,直接累加其fa和gf——–刷表法

樹的重心

概念:刪去節點i後的最大聯通塊的大小最小
應用:樹的點分治中避免x^2的極端情況(從退化鏈一端出發)
定義:d[i] 以i為根的子樹的大小
易得:

d[i]=∑j∈s[i]d[j]+1
所以對於節點i來說,它若為重心的值即h[i]=max(d[j])+n-d[i]
求h[i]和d[i]的操作在無根樹轉有根時可一起完成

最遠點對

DFS：
兩次dfs即可,證明可用反證法

-

dp:
定義:d[i] 以i為根的子樹到葉子的最長距離(不能向上)
思路:經過i點的最長路徑是兒子最大值與次大值相加
所以:d[i]=maxd[j]+max2d[j]+2

-

拓展:對於一顆n個結點的無根樹,求出每個結點的最遠點,要求時間複雜度為O(n)

補充一下對於求樹直徑的dfs證明:
樹的直徑是樹上最長的一條邊
方法:任取一點u,用DFS求出其最長點v,對於v,再dfs(v),求出v的最遠點w,
v–w就是直徑

1°:若任取的一點u在直徑上,顯然u的最遠點v是直徑的一個端點.v的另一個端點w就是直徑的第二個端點
至於為什麼v是直徑的一個端點:我們假設存在一點x使得u-x的距離大於u-v的距離,因為u在直徑上所以以x是這條直徑上距離u較長一端的端點,這與v也是端點相矛盾,故v是直徑的一個端點.

2°:若這點u不在直徑上,我們不妨設這棵樹的兩個端點分別為v,w,我們通過兩次搜尋到的是x,y點.若x,y的路徑中有點與u,v重合那麼回到了第一種情況是正確的.若x,y與v,w完全不相交,因為是樹所以必定是一個聯通塊,一定有邊連線在u,v和x,y構成的兩個聯通塊中,所以直徑無疑是x,y與v,w之間的最遠點,所以又回到了第一種情況.
至此,所有情況討論完畢,均成立.
如上,證畢.

回到這個問題中:

方法:兩次dfs得到樹的直徑,然後分別從直徑的兩端出發,更新其最大值.
證明類似於上問 問題摸我

樹的dp的一些基本東西就在這裡~~
orz~~例題看我後面的部落格了(^o^)